Различение двух детерминированных сигналов

Постановка задачи оптимального различения сигналов; критерии оптимального различения

Предположим, что в наблюдаемой на входе приемника реализации y(t) может быть один из двух полезных сигналов S1(t) или S2(t),
y(t) = S₁(t) + n(t) или y(t) = S₂(t) + n(t), t [0,T].

По наблюдениям y(t) на интервале времени [0,T] и имеющейся априорной информации необходимо принять решение о том, какой из двух сигналов присутствует в принятом колебании. Данная задача называется задачей различения сигналов.

Аналогично задаче обнаружения, задачу различения можно сформулировать как задачу оценивания. Представим наблюдаемый процесс в виде
y(t) = S1(t) + (1 - )S2(t) + n(t).

Параметр может принимать случайным образом одно из двух значений: = 1 (присутствует сигнал S₁(t)) с априорной вероятностью Р₁ и = 0 (присутствует сигнал S₂(t)) с априорной вероятностью Р₀ = 1 - Р₁. Задача различения в этом случае формулируется как оценка значения случайной величины q по наблюдениям реализации y(t) на интервале времени t [0,T].

В такой формулировке данная задача ничем не отличается от задачи обнаружения, поэтому можно воспользоваться полученными ранее результатами.

Наиболее распространенными критериями оптимальности обнаружения являются следующие:

1. Критерий минимума среднего риска

(2.2)

где r_л и r_п – «весовые» коэффициенты, выбираемые, исходя из значимости каждой ошибки.

Величина называется средним риском.

2. Критерий минимальной «взвешенной» вероятности ошибки

(2.3)

где a и b – весовые коэффициенты.

3. Критерий минимума вероятности полной ошибки (или критерий

идеального наблюдателя, или критерий Зигерта-Котельникова)

(2.4)

4. Критерий Неймана – Пирсона

(2.5)

Величиной Р_л задаются, исходя из физической постановки задачи. При этом Р_п минимизируют.

Если априорные вероятности Р(а₀) и Р(а₁) неизвестны, что имеет место во многих случаях, то критерием пользоваться невозможно. В радиолокации чаще пользуются критерием Неймана – Пирсона.

10. Корреляция – математическая операция, схожа со свёрткой, позволяет получить из двух сигналов третий. Бывает: автокорреляция (автокорреляционная функция), взаимная корреляция (взаимнокорреляционная функция, кросскорреляционная функция). Пример:

[Взаимная корреляционная функция]

[Автокорреляционная функция]

Корреляция - это техника обнаружения заранее известных сигналов на фоне шумов, ещё называют оптимальной фильтрацией. Хотя корреляция очень похожа на свёртку, но вычисляются они по-разному. Области применения их также различные (c(t)=a(t)*b(t) - свертка двух функций, d(t)=a(t)*b(-t) - взаимная корреляция).

Корреляция – это та же свёртка, только один из сигналов инвертируется слева направо. Автокорреляция (автокорреляционная функция) характеризует степень связи между сигналом и его сдвинутой на τ копией. Взаимнокорреляционная функция характеризует степень связи между 2-мя разными сигналами.

Свойства автокорреляционной функции:

• 1) R(τ)=R(-τ). Функция R(τ) – является чётной.
• 2) Если х(t) – синусоидальная функция времени, то её автокорреляционная функция – косинусоидальная той же частоты. Информация о начальной фазе теряется. Если x(t)=A*sin(ωt+φ), то R(τ)=A²/2 * cos(ωτ).
• 3) Функция автокорреляции и спектра мощности связаны преобразованием Фурье.
• 4) Если х(t) – любая периодическая функция, то R(τ) для неё может быть представлена в виде суммы автокорреляционных функций от постоянной составляющей и от синусоидально изменяющейся составляющей.
• 5) Функция R(τ) не несёт никакой информации о начальных фазах гармонических составляющих сигнала.
• 6) Для случайной функции времени R(τ) быстро уменьшается с увеличением τ. Интервал времени, после которого R(τ) становится равным 0 называется интервалом автокорреляции.
• 7) Заданной x(t) соответствует вполне определённое R(τ), но для одной и той же R(τ) могут соответствовать различные функции x(t)

Дата добавления: 2015-05-10