Абсолютна і відносна похибки. Межа похибки

Для оцінки відхилення наближених чисел від точних використовують такі поняття як абсолютна та відносна похибки.

Абсолютною похибкою наближення називається модуль різниці між точним значенням величини а і її наближеним значенням х, тобто

Приклад

Абсолютна похибка наближення числа числом 0,44 складає:

Якщо точне число невідоме, то знайти абсолютну похибку неможливо. На практиці вводять оцінку допустимої при даних вимірюваннях чи обчисленнях абсолютної похибки, яку називають межею абсолютної похибки і позначають буквою h. Вважають, що . Як правило, межу абсолютної похибки встановлюють з практичних міркувань, наприклад, при вимірюваннях за межу абсолютної похибки приймають найменшу поділку приладу.

При записі наближених чисел часто використовують поняття вірної та сумнівної цифри.

Цифра називається вірною, якщо межа абсолютної похибки даного наближення не перевищує одиниці того розряду, в якому записана ця цифра. В іншому випадку цифра називається сумнівною.

Наприклад:

в числі дві цифри вірні, бо похибка 0,04 не перевищує одиниці розряду десятих. Цифри 9 і 7 вірні, оскільки <0,1 а цифри 4 і 6 є сумнівні, бо >0,01.

В кінцевому записі наближеного числа зберігають тільки вірні цифри. Так, число можна записати у вигляді а =9,7: число вигляді а =9,746. Якщо в десятковому дробі останні вірні цифри - нулі, то їх залишають в записі числа.

Наприклад: якщо а=0,26±0,001, то правильний запис числа є 0,260.

Якщо в цілому числі останні нулі є сумнівними цифрами, їх виключають із запису числа.

Саме тому при роботі з наближеними числами широко використовують стандартну форму запису числа.

Наприклад: в числі а=25000±25 вірними є три перші цифри, а два останні нулі - сумнівні цифри. Запис числа можливий лише у вигляді: 25000± 100 або .

Отже, в десятковому записі наближеного числа остання цифра вказує на точність наближення, тобто межа абсолютної похибки не перевищує одиниці останнього розряду.

В десятковому записі числа значущими цифрами називають всі його вірні цифри починаючи з першої зліва, відмінної від нуля.

При такому підході до запису наближеного числа потрібно вміти заокруглювати числа.

Правила заокруглення чисел:

- Якщо перша цифра, яку відкидаємо є меншою за п'ять, то в останньому розряді, що зберігається цифра не змінюється.

- Якщо перша цифра, яку відкидаємо більша п'яти, то в останньому розряді, що зберігається цифра збільшується на одиницю.

- Якщо перша цифра, яка відкидається п'ять і за нею є ще цифри відмінні від нуля, то в останньому розряді, що зберігається цифра збільшується на одиницю.

- Якщо перша цифра, яка відкидається - п'ять і за нею немає більше ніяких цифр, відмінних від нуля, то останню цифру, що зберігаємо залишаємо без зміни, якщо вона парна і збільшуємо на одиницю, якщо не парна.

Абсолютна похибка не повністю характеризує точність наближення.

Якість (точність) наближення краще характеризується відносною похибкою.

Відносною похибкою (омега) наближення х величини а називається відношення абсолютної похибки цього наближення до модуля наближеного значення х, тобто .

Оскільки абсолютна похибка звичайно буває невідома, то на практиці оцінюють модуль відносної похибки деяким числом, яке не менше від цього модуля:

Число Е називається межею відносної похибки.

Межу відносної похибки можна обчислити за формулою:

Звичайно відносна похибка виражається у відсотках.

За допомогою відносної похибки легко встановити точність наближення.

Дата добавления: 2015-05-10