Обязательно прочитайте данный параграф! Параметрические уравнения, конечно, не альфа и омега пространственной геометрии, но рабочий муравей многих задач. Причём, этот вид уравнений часто применяется неожиданно, и я бы сказал, изящно.
Если известна точка
, принадлежащая прямой, и направляющий вектор
данной прямой, то параметрические уравнения этой прямой задаются системой:

О самом понятии параметрических уравнений я рассказывал на уроках Уравнение прямой на плоскости и Производная параметрически заданной функции.
Всё проще пареной репы, поэтому придётся приперчить задачу:
Пример 7
Составить параметрические уравнения следующих прямых:

Решение: Прямые заданы каноническими уравнениями и на первом этапе следует найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и её направляющий вектор.
а) Из уравнений
снимаем точку и направляющий вектор:
. Точку можно выбрать и другую (как это сделать – рассказано выше), но лучше взять самую очевидную. Кстати, во избежание ошибок, всегда подставляйте её координаты в уравнения.
Составим параметрические уравнения данной прямой:

Удобство параметрических уравнений состоит в том, что с их помощью очень легко находить другие точки прямой. Например, найдём точку
, координаты которой, скажем, соответствуют значению параметра
:

Таким образом: 
б) Рассмотрим канонические уравнения
. Выбор точки здесь несложен, но коварен:
(будьте внимательны, не перепутайте координаты!!!). Как вытащить направляющий вектор? Можно порассуждать, чему параллельна данная прямая, а можно использовать простой формальный приём: в пропорции находятся «игрек» и «зет», поэтому запишем направляющий вектор
, а на оставшееся место поставим ноль:
.
Составим параметрические уравнения прямой:

в) Перепишем уравнения
в виде
, то есть «зет» может быть любым. А если любым, то пусть, например,
. Таким образом, точка
принадлежит данной прямой. Для нахождения направляющего вектора используем следующий формальный приём: в исходных уравнениях
находятся «икс» и «игрек», и в направляющем векторе на данных местах записываем нули:
. На оставшееся место ставим единицу:
. Вместо единицы подойдёт любое число, кроме нуля.
Запишем параметрические уравнения прямой:

Для тренировки:
Пример 8
Составить параметрические уравнения следующих прямых:

Решения и ответы в конце урока. Полученные вами ответы могут несколько отличаться от моих ответов, дело в том, что параметрические уравнения можно записать не единственным способом. Важно, чтобы ваши и мои направляющие векторы были коллинеарны, и ваша точка «подходила» к моим уравнениям (ну, или наоборот, моя точка к вашим уравнениям).
Как ещё можно задать прямую в пространстве? Хочется что-нибудь придумать с вектором нормали. Однако номер не пройдёт, у пространственной прямой нормальные векторы могут смотреть совершенно в разные стороны.
Ещё об одном способе уже упоминалось на уроке Уравнение плоскости и в начале этой статьи: