Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме выполняются в любой (не особой) точке пространства.

. (3.7)

. (3.8)

. (3.9)

. (3.10)

Первое (3.7) и второе (3.8) уравнения Максвелла выводятся из (3.1) и (3.2) соответственно с использованием формулы Стокса (2.12). Например, для (3.1):

. (3.11)

После преобразования левой части (3.1) получаем интегралы по одной и той же поверхности, что позволяет приравнять подынтегральные функции. После выполнения предельного перехода при S ®0 получаем (3.7).

Аналогичным образом выводится (3.8). Операции интегрирования и дифференцирования у непрерывной функции можно менять местами.

Обратный переход к (3.1) и (3.2) от (3.7) и (3.8) выполняется интегрированием последних по площади, охватываемой замкнутым контуром, и преобразованием ротора по формуле Стокса (2.12).

Первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме показывает, что вихревое магнитное поле создается как плотностью тока () проводимости, так и тока смещения.

Второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме показывает, что вихревое электрическое поле создается изменением во времени индукции магнитного поля.

Третье (3.9) и четвертое (3.10) уравнения Максвелла выводятся из (3.3) и (3.4) соответственно с использованием формулы Остроградского-Гаусса (2.11).

Например, для (3.3) после преобразования левой части по (2.11):

. (3.12)

После предельного перехода при V ®0 получаем (3.9).

Обратный переход к (3.3) и (3.4) от (3.9) и (3.10) выполняется интегрированием последних по объему V, охватываемому замкнутой поверхностью S, и преобразованием дивергенции по формуле Остроградского-Гаусса (2.11).

Третье и четвертое уравнения Максвелла в дифференциальной форме показывают наличие носителей у электрического поля (3.9) и отсутствие носителей у магнитного поля (3.10).

В случае появления сторонних величин (j_ст, r_ст и т. п.) они суммируются с соответствующими величинами системы уравнений Максвелла.

Дата добавления: 2015-05-10