Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Процесс гибели и размножения




Телефон: (0652) 608-834, +7 978 851 06 26

МЫ ВАС ЖДЕМ СПА-КОСМЕТОЛОГИИ «КОНСОЛЬ» 4 ЭТАЖ! С 9.00 ДО 21.00 ЕЖЕДНЕВНО

ПРИ ПОКУПКЕ 10 ПРОЦЕДУР(КУРС)-10%

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций.

λ12
Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 1.

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S0, S1, S2,…Sk. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния Sk возможны переходы только либо в состояние Sk-1, либо в состояние Sk+1[1].

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями λk,k+1 или λk+1,k.

По графу, представленному на рис. 1, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).

В соответствии с правилом составления таких уравнений получим: для состояния S0

, (1)

для состояния S1 - , которое с учетом (1) приводится к виду

. (2)

Аналогично, записывал уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

(3)

к которой добавляется нормировочное условие

. (4)

Решим эту систему. Для этого выразим все переменные через .

Из первого уравнения выразим :

. (*)

Из второго, с учетом предыдущего равенства, получим

. (**)

И так далее. Общая формула имеет вид:

. (***)

Формулы (*) – (***) обозначим цифрой (5).

Все вероятности выражены через одну из них: . Подставив эти выражения в нормировочное условие и вынося , получим:

, (6)

Заметим, что в формулах (5) для р 1, р 2,…, рп коэффициенты при р 0 есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (6). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния Sk (k = 1, 2, …, n), а знаменатели – произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния Sk.

Пример 1. Процесс гибели и размножения представлен графом (рис. 2). Найти предельные вероятности состояний.

Решение. По формуле (6)найдем

по (5) - , , т.е. в установившемся, стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находиться в состоянии S0, 17,6% — в состоянии S1 и 11,8% — в состоянии S2.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-10; Просмотров: 577; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.