СМО с отказами

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

А — абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q – относительную пропускную способность,т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Р_отк. — вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

— среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Одноканальная система с отказами. Рассмотрим задачу.

Имеется один канал, на который поступает поток заявок синтенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ[2]. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет два состояния: S₀ - канал свободен, S₁ — канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис 3.

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. правило составления таких уравнений Колмогорова).

(7)

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие р₀ + р₁ = 1, найдем из (7) предельные вероятности состояний
, , (8)

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S₀ (когда канал свободен) и S₁ (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа Р_отк:

(9)

. (10)

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов

(11)

Пример 2. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью λ, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону = 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.
Решение. Имеем λ =90 (1/ч), = 2 мин. Интенсивность потока обслуживаний μ = 1/ = ½ = 0,5 (1/мин) = 30 (1/ч). По (9) относительная пропускная способность СМО Q = 30/(90+30) = 0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании оставит Р_отк. = 0,75(см. (10). Абсолютная пропускная способность СМО по (11) А= 90 · 0,25=22,5,т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

[1] При анализе численности популяций считают, что состояние S_k соответствует численности популяции, равной k, и переход системы из состояния S_k в состояние S_k+1 происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние S_k-1 – при гибели одного члена популяции.

[2] Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживаний — поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятых каналом. Среднее время обслуживания обратно по величине интенсивности μ, т. е.

Дата добавления: 2015-05-10