Понятие квадратичной формы

Знакоопределенность квадратичной формы

Понятие квадратичной формы

При решении прикладных задач часто приходится исследовать квадратичные формы.

Определение 1. Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

.

Коэффициенты матричной формы – действительные числа, причем .

Матрица , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид

или

.

Пример. Дана квадратичная форма

.

Записать ее в матричном виде.

Решение. Диагональные элементы матрицы равны коэффициентам при квадратах переменных, а другие элементы – половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы:

.

При некоторых удачно выбранных преобразованиях вид квадратичной формы можно существенно упростить.

Определение 2. Квадратичная форма называется канонической, если все ее коэффициенты при :

,

а ее матрица является диагональной.

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

.

Решение.

Таким образом, получили канонический вид квадратичной формы

.

Привести квадратичную форму к каноническому виду можно разными способами.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Ранг матрицы квадратичной формы (или ранг квадратичной формы) равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Дата добавления: 2015-05-10