Дискретные и непрерывные сигналы

ЦАП

Способы передачи

Кодовые слова можно передавать в параллельной или последовательной формах (рис.3). Для передачи в параллельной форме надо использовать n линий связи (в примере, показанном на рисунке, n = 3), по каждой из которых передается один бит кодового слова. Символы кодового слова одновременно передаются по линиям в пределах интервала дискретизации. Для передачи в последовательной форме интервал дискретизации надо разделить на n подынтервалов — тактов. В этом случае символы слова передаются последовательно по одной линии, причем на передачу одного символа слова отводится один такт.

Каждый символ слова передается с помощью одного или нескольких дискретных сигналов-импульсов, поэтому преобразование аналогового сигнала в последовательность кодовых слов часто называют импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ). Форма представления слов определенными сигналами определяется форматом кода. Можно, например, устанавливать в пределах такта высокий уровень сигнала, если в данном такте передается двоичный символ 1, и низкий — если передается двоичный символ 0 (такой способ представления, показанный на рис. 3г, называют форматом БВН — «без возвращения к нулю»). В примере на рис. 3г используются трехразрядные двоичные слова — это позволяет иметь максимум 8 уровней квантования. В параллельном цифровом потоке по каждой линии в пределах интервала дискретизации передается один бит трехразрядного слова; старший бит слова передается с помощью дискретного сигнала D2, младший — D0. В последовательном потоке (сигнал D) интервал дискретизации делится на три такта, в которых передаются (начиная со старшего) биты трехразрядного слова.

Операции, связанные с преобразованием аналогового сигнала в цифровую форму (дискретизация, квантование и кодирование), могут выполняться с помощью отдельной интегральной микросхемы. Эти операции могут также быть задачей, которая решается процессором более высокого уровня, например кодером источника. Фильтр низких частот, показанный на рис.2, является элементом АЦП, его назначение обсуждается в следующем разделе.

Рисунок 4

Восстановление непрерывного сигнала из последовательности кодовых слов производится в цифро-аналоговом преобразователе (рис.4). Декодер ЦАП преобразует последовательность чисел в дискретный квантованный сигнал, который подобен сигналу, показанному на рис.3в. Для преобразования этого сигнала в непрерывный должны использоваться аналоговые устройства. Задача заключается в выделении огибающей последовательности прямоугольных импульсов, образующих сигнал рис.3в. Это можно сделать с помощью ФНЧ (рис.4), выделяя постоянную составляющую последовательности, которая пропорциональна амплитуде. Для того чтобы сгладить сигнал импульсной последовательности и выделить его постоянную составляющую, ФНЧ должен быть достаточно инерционным, и его граничная частота должна быть меньше частоты повторения импульсов, т.е. частоты дискретизации. А для того, чтобы выходной сигнал ФНЧ успевал следить за изменениями амплитуды импульсов, он не должен быть слишком инерционным, его граничная частота должна быть выше верхней частоты исходного непрерывного сигнала. Два приведенных соображения не противоречат друг другу, если частота дискретизации выше частоты исходного непрерывного сигнала. Требования к фильтру, играющему важную роль в схеме ЦАП, обсуждаются более детально в следующем разделе.

Дискретизация непрерывного сигнала может не вносить никаких искажений. При выполнении некоторых ограничений, накладываемых на дискретизируемый сигнал, и надлежащем выборе частоты дискретизации исходный аналоговый сигнал может быть точно восстановлен. Однако квантование всегда связано с необратимыми искажениями, и сигнал, воспроизводимый на выходе ЦАП, представляет собой некоторую аппроксимацию исходного непрерывного сигнала. Искажения дискретизации и шумы квантования обсуждаются ниже.

Теорема Котельникова

Большинство реальных сигналов (например, звуковых) являются непрерывны-ми функциями (если пренебречь квантовыми эффектами). Для обработки на компьютере требуется перевести сигналы в цифровую форму. Один из спосо-бов сделать это – равномерно по времени измерить значения сигнала на опре-деленном промежутке времени и ввести полученные значения амплитуд в ком-пьютер. Если делать измерения достаточно часто, то по полученному дискрет-ному сигналу можно будет достаточно точно восстановить вид исходного не-прерывного сигнала.

Процесс замера величины сигнала через равные промежутки времени называ-ется равномерной (по времени) дискретизацией. Многие устройства для ввода данных в компьютер осуществляют дискретизацию. Например, звуковая карта дискретизирует сигнал с микрофона, сканер дискретизирует сигнал, посту-пающий с фотоэлемента. В результате дискретизации непрерывный (аналого-вый) сигнал переводится в последовательность чисел. Устройство, выполняю-щее этот процесс, называется аналогово-цифровым преобразователем (АЦП, analogue-to-digital converter, ADC). Частота, с которой АЦП производит замеры аналогового сигнала и выдает его цифровые значения, называется частотой дискретизации.

Встает вопрос: при каких условиях на исходный сигнал и на частоту дискрети-зации можно с необходимой степенью точности восстановить исходный сигнал по его цифровым значениям? Ответ на этот вопрос дает важная теорема Ко-тельникова. Однако чтобы ее понять, необходимо познакомиться с понятием спектра непрерывного сигнала.

Как известно из анализа, любая непрерывная функция может быть разложена в интеграл Фурье. Смысл этого разложения состоит в том, что функция пред-ставляется в виде суммы «ряда» синусоид с различными амплитудами. Коэф-фициенты (амплитуды) при синусоидах называются спектром функции. У от-носительно гладких функций спектр быстро убывает (с ростом частоты коэф-фициенты быстро стремятся к нулю). Для относительно «ломаных» функций спектр убывает медленно, т.к. для представления разрывов и «изломов» функ-ции нужны синусоиды с большими частотами.

Говорят, что сигнал имеет ограниченный спектр, если выше определенной час-тоты все коэффициенты спектра равны нулю. В этом случае говорят, что спектр сигнала лежит ниже частоты F (ограничен частотой F), где F – частота, выше которой спектр равен нулю.

Теорема Котельникова (Найквиста, Шеннона): если сигнал таков, что его спектр ограничен частотой F, то после дискретизации сигнала с частотой не менее 2F можно восстановить исходный непрерывный сигнал по полученному цифровому сигналу абсолютно точно. Для этого нужно проинтерполировать цифровой сигнал «между отсчетами» специального вида функциями (sinc-функциями).

На практике эта теорема имеет огромное значение. Например, известно, что большинство звуковых сигналов можно с некоторой степенью точности счи-тать сигналами с ограниченным спектром. Их спектр, в основном, лежит ниже 20 кГц. Это значит, что при дискретизации с частотой не менее 40 кГц мы мо-жем потом более-менее точно восстановить исходный аналоговый звуковой сигнал по его цифровым отсчетам. Абсолютной точности достичь не удастся, так как в природе не бывает сигналов с идеально ограниченным спектром.

Устройство, которое интерполирует дискретный сигнал до непрерывного, на-зывается цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП, digital-to-analogue con-verter, DAC). Эти устройства применяются, например, в проигрывателях ком-пакт-дисков для восстановления звука по цифровому звуковому сигналу, запи-санному на компакт-диск. Частота дискретизации звукового сигнала при запи-си на компакт-диск составляет 44100 Гц. Таким образом, говорят, что ЦАП на CD-плеере работает на частоте 44100 Гц.

Наложение спектров (алиасинг)

Что произойдет, если попытаться оцифровать сигнал с недостаточной для него частотой дискретизации (или если спектр сигнала не ограничен)? В этом слу-чае по полученной цифровой выборке нельзя будет верно восстановить исход-ный сигнал. Восстановленный сигнал будет выглядеть таким образом, как если бы частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, отразились от половины частоты дискретизации, перешли в нижнюю часть спектра и нало-жились на частоты, уже присутствующие в нижней части спектра. Этот эффект называется наложением спектров или алиасингом (aliasing).

Предположим, что мы попытались оцифровать музыку, спектр которой огра-ничен частотой 20 кГц, но при записи какой-то электроприбор (например, дис-плей) сгенерировал сильную помеху с ультразвуковой частотой 39 кГц, кото-рая проникла в аналоговый звуковой сигнал. Мы производим оцифровку с час-тотой 44.1 кГц. При этом мы предполагаем, что звук, лежащий ниже частоты кГцкГц05.2221.44= будет записан правильно (по теореме Котельникова). Но так как помеха лежит выше частоты 22.05 кГц, то возникнет алиасинг, и поме-ха «отразится» в нижнюю часть спектра, на частоту около 5 кГц. Если мы те-перь попробуем пропустить полученный цифровой сигнал через ЦАП и про-слушать результат, то мы услышим на фоне музыки помеху на частоте 5 кГц. Помеха «переместилась» из неслышимой ультразвуковой области в слышимую область.

Таким образом, мы видим, что алиасинг – нежелательное явление при дискре-тизации сигнала. Например, при оцифровке изображения алиасинг может при-вести к дефектам в изображении, таким как «блочные», «пикселизованные» границы или муар.

Как избежать алиасинга? Первый способ – использовать более высокую часто-ту дискретизации, чтобы весь спектр записываемого сигнала уместился ниже половины частоты дискретизации. Второй способ – искусственно ограничить спектр сигнала перед оцифровкой.

Существуют устройства, называемые фильтрами, которые позволяют изменять спектр сигнала. Например, фильтры низких частот (НЧ-фильтры, low-pass fil-ters) пропускают без изменения все частоты ниже заданной, и удаляют из сиг-нала все частоты выше заданной. Эта граничная частота называется частотой среза (cutoff frequency) фильтра. Одно из важных применений НЧ-фильтров за-ключается в искусственном ограничении спектра сигнала перед оцифровкой. В этом случае фильтры называются анти-алиасинговыми, т.к. они предотвраща-ют возникновение алиасинга при оцифровке сигнала. Частота среза анти-алиасинговых фильтров устанавливается равной половине частоты дискрети-зации.

Рассмотрим, что произойдет, если в примере с записью музыки и помехи при-менить анти-алиасинговый фильтр перед оцифровкой сигнала. Так как частота дискретизации составляет 44.1 кГц, то частота среза фильтра устанавливается на 22 кГц. Таким образом, фильтр будет пропускать без изменения все сигна-лы, спектр которых лежит ниже 22 кГц (музыку), и подавлять все сигналы, со спектром выше 22 кГц (в том числе – и помеху). После применения фильтра из сигнала исчезнет помеха, и спектр полученного сигнала будет лежать ниже 22 кГц. Когда этот сигнал будет подан на АЦП, алиасинга не возникнет, и по по-лученной цифровой записи можно будет правильно воссоздать исходную му-зыку (без помехи).

В реальные АЦП почти всегда встраивается анти-алиасинговый фильтр. Обыч-но эффект от искусственного ограничения спектра вполне приемлем, в то вре-мя как алиасинг – недопустим. Однако не всегда искусственное ограничение спектра так благотворно влияет на записываемый сигнал. Например, при оциф-ровке музыки на низкой частоте дискретизации 11 кГц приходится отфильтро-вывать из спектра музыки все частоты выше 5.5 кГц. В результате этого музы-ка теряет в качестве (хотя обычно такие потери лучше, чем алиасинг). При оцифровке изображений необходимо аккуратно проектировать анти-алиасинговый фильтр, чтобы изменение спектра изображения не повлекло ви-димых артефактов (таких как пульсации вблизи резких границ).

Дата добавления: 2015-05-10