Однородные уравнения

Способ подстановки

Разложение на множители:

Двучленные уравнения:

Простейшие тригонометрические уравнения:

НА ВЫПОЛНЕНИЕ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Липецк 2014 г.

Липецкий филиал АОНО СПО
«Институт менеджмента, маркетинга и финансов»

Кафедра Экономики

Специальность 080110 «Банковское дело»

Группа 113-БД

УТВЕРЖДАЮ

заведующий кафедрой

Лукьянова Е.Ю.

^{(подпись с расшифровкой)}

^{«____» ____________20___г.}

ЗАДАНИЕ

СТУДЕНТ_________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

1. Тема работы_______________________________________________________

____________________________________________________________________

утверждена приказом ректора от «____» ______________________________

2. Срок сдачи студентом законченной работы «06» июня 2014г.

3. Календарный план выполнения работы (строится в соответствии со структурой ВКР)

Структура ВКР	Сроки выполнения	Подпись руководителя
Введение	22.05.2014
Глава 1.	30.04.2014
Глава 2.	22.05.2014
Заключение	22.05.2014
Библиография	30.04.2014

Руководитель____________________ ________________________________

(подпись) (ФИО)

Задание получил

студент_________________________ ________________________________

(подпись) (ФИО)

Отметка о допуске студента к защите ВКР в ГАК (протокол заседания кафедры от «11» июня 2014г. № 11_)

Зав. кафедрой___________________ Лукьянова Е.Ю.

(подпись) (ФИО)

Пример 1. 2sin(3x - p/4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4).

sin(3x - p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а нахо­дим

3х - p/4 = (-1)ⁿ arcsin 1/2 + np, nÎZ.

Зх - p/4 = (-1)ⁿ p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1)ⁿ p/6 + p/4 + np, nÎZ;

x = (-1)ⁿ p/18 + p/12 + np/3, nÎZ

Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =

= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.

Ответ: х 1 = 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x 2 = 13p/36 + 2pn/3, nÎZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ.

Пример 2. sinx + Öз cosx = 1.

Решение. Подставим вместо Öз значение ctg p/6, тогда уравнение при­мет вид

sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;

sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;

x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;

x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ;

Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ.

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.

Ответ: x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.

Пример 1. sinx + tgx = sin²x / cosx

Решение. cosx ¹ 0; x ¹ p/2 + pn, nÎZ.

sinx + sinx/cosx = sin²x / cosx. Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx · cosx + sinx - sin²x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 = pn, nÎZ; cosx - cos(p/2 - x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 - x) = -1;

Ö2 · sin(p/4 - x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 - x = (-1) ⁿ⁺¹ arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ;

x2 = p/4 - (-1) ⁿ⁺¹ · p/4 - pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1) ⁿ · p/4 + pn, nÎZ.

Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-I)ⁿ · p/4 + pn, nÎZ.

Пример 1. 2 sin²x = 3cosx.

Решение. 2sin²x - 3cosx = 0; 2 (l - cos²x) - 3cosx = 0; 2cos²x + 3cosx - 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z² + 32z - 2=0.

Д = 9+16 = 25; ÖД = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетво­ряют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nÎZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nÎZ.

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin²x + b sinxcosx + c cos²x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin³x + b sin²x cosx + c sinx cos²x + d sin³x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin²x или на cos²x и приводятся к уравнениям отно­сительно tgx или ctgx.

Пример 1. Ö3sin² 2x - 2sin4x + Ö3cos²2x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение Ö3sin²2x - 4sin2xcos2x + Ö3cos²2x = 0.

Разделим на cos²2x. Уравнение примет вид Ö3 tg²2x – 4tg2x + Ö3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда Ö3z² - 4z + Ö3 = 0; Д = 4; ÖД = 2.

z1 = (4 +2)/2Ö3 = 6/2Ö3 = Ö3; z2 = (4 – 2)/2Ö3 = 1/Ö3

tg2x = Ö3 или tg2x = 1/Ö3

2x = p/3 + pn, nÎZ; 2x = p/6 + pn, nÎZ;

x1 = p/6 + pn/2, nÎZ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 + 2pn, nÎZ.

Ответ: x = p/2 - arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.

Дата добавления: 2015-05-10