Трехмерные вращения

Выделяются три основных вида вращения:

1. Вращение вокруг координатных осей.

2. Вращение вокруг осей, проходящих через начало координат.

3. Вращение вокруг произвольных осей.

Вращение вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат.

Направление оси вращения, задаётся единичным вектором n=n₁i+n₂j+n₃k, где n₁=cosa, n₂=cosb, n₃=cosg (n₁, n₂, n₃ – направляющие косинусы).

Если ось вращения проходит через начало координат и точку А(x₁, y₁, z₁), то

.

Обозначим через b=1-cosΘ, тогда

Модель сферы, помещенной в пространство так, чтобы ось вращения проходила через начало координат, даёт следующую матрицу вращения:

Трехмерные вращения вокруг координатных осей являются частными случаями обобщенной матрицы вращения.

Матрица поворота вокруг оси Х на угол Q получается из M(R(Q)) при n₁=1 и n₂=n₃=0:

.

Матрица поворота вокруг оси Y на угол Q получается из M(R(Q)) при n₂=1 и n₁=n₃=0:

.

Матрица поворота вокруг оси Z на угол Q получается из M (R(Q)) при n₃=1 и n₂=n₁=0:

.

В матричной форме рассмотренные преобразования для точки P(x,y,z) запишутся в виде

P*=P´M(R(X,Q)); P*=P·M(R(Y,Q)); P*=P·M(R(Z,Q)).

Вращения вокруг осей, проходящих через начало координат, легко обобщаются на случай трехмерного вращения вокруг произвольной оси.

Вращение вокруг произвольной оси. Процедура заключается в переносе изображения вместе с осью вращения, так чтобы ось вращения проходила через начало координат, выполнении вращения и операции обратного переноса в исходное положение. Тогда

Вращение вокруг произвольной оси

Если ось вращения проходит через точку А = || k m n 1 ||, то преобразованные координаты определяются следующим выражением: P* = P M(Т(-А)) M(R(Q)) M(T(А)), откуда

.

На основании рассмотренных преобразований в матрице преобразования 4х4 для трехмерных ОК можно выделить 4 подматрицы.

Обобщённая матрица преобразований в ОК для трёхмерной области

.

Подматрица 3х3 реализует сдвиг, масштабирование, отображение и вращения. Подматрица 1х3 реализует перенос, а подматрица 3х1 преобразование в перспективе. Элемент s выполняет общее изменение масштаба. Влияние подматрицы 3х1 на преобразование изображения рассмотрим в разделе «Проективная геометрия».

Дата добавления: 2015-05-10