Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешимые в явном виде

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется такое функциональное уравнение, в котором неизвестная функция содержится под знаком производной. Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция зависит только от одной переменной, то такое уравнение называется обыкновенным. Если же в дифференциальном уравнении неизвестная функция зависит от нескольких переменных, то такое уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной от искомой функции, входящей в данное уравнение.

Дифференциальное уравнение делятся на линейные и нелинейные.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных, входящих в данное уравнение.

Дифференциальное уравнение, которое не является линейным, называется нелинейным.

Рассмотрим дифференциальное уравнение 1 – го порядка

y′=f(x,y),y=y(x) (1)

Функцию f(x,y) будем считать определенной и непрерывной в некоторой области D плоскости переменных (x,y).

Решением дифференциального уравнения (1) будем называть всякую функцию

y=ψ(x,y),α<x<β (2)

дифференцируемую на интервале (α,β) и удовлетворяющую уравнению (1).

График решения (2) дифференциального уравнения (1) называется интегральной кривой дифференциального уравнения (1). Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Самым простейшим дифференциальным уравнением 1-го порядка является уравнение вида:

y′(x)=f(x), (1)

где f(x) - заданная непрерывная на промежутке <a,b> функция.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения (1) в данном случае есть известная задача математического анализа об отыскании неизвестной функции по ее производной. Данная задача решается с помощью понятия первообразной (т.е. неопределенного интеграла)

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменным и

Уравнение вида

P₁(x)Q₁(y)dx=P₂(x)Q₂(y)dy, где P₁(x), P₂(x), Q₁(y), Q₂(y) - заданные непрерывные функции, причем Q1(y)P2(x)≠0, в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y, называются уравнением с разделяющимися переменными, так как путем деления на произведение Q1(y)P2(x) приводится к уравнению с разделенными переменными:

P₁(x)/ P₂(x)dx=Q₂(y)/Q₁(y)dy,

общий интеграл которого имеет вид:

∫P₁(x)/P₂(x)dx=∫Q₂(y)/Q₁(y)dy+C.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения.

x(1+y²)dy−y(1+x²)dy=0.

Решение. В данном уравнении разделяем переменные и интегрируем:

xdx/(1+x²)=ydy/(1+y²), ∫ydy/(1+y²)=∫xdx/(1+x²)+C1.

Вычисляя интегралы, имеем

1/2ln(1+y²)=1/2ln(1+x²)+1/2lnC или

1+y²=C(1+x²), C1=1/2lnC.

Ответ. 1+y²=C(1+x²), C - любая положительная постоянная.

Однородные дифференциальные уравнения

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся также и однородные уравнения, имеющие вид:

dx/dy=f(y/x) или y′=f(y/x)(y′=f(y/x)), (1)

где f - заданная непрерывная функция.

Действительно, после подстановки y=zx, где z=z(x), уравнение (1) преобразуется следующим образом:

dy/dx=xdz/dx+z, xdz/dx+z=f(z),

где переменные при условии f(z)≠z разделяются

xdz=[f(z)−z]dx, dz/(f(z)−z)=dx/x.

Интегрируя последнее дифференциальное уравнение, получаем

Ln|x|=∫dz/(f(z)−z)+lnC, x=Ce^{∫dzf(z)−z},f(z)≠z.

Если f(z)=z, то z′(x)=0. Тогда y(x)=Cx, C - произвольная постоянная.

Пример. Найти решение дифференциальное уравнение

dy/dx=y/x+tg y/x

Решение. Вводим новую неизвестную функцию z:

y=x·z, dy/dx=xdz/dx+z. (2)

Подставляя это в дифференциальное уравнение (1), имеем:

xdz/dx + z=z+tg z.

Отсюда, разделяя переменные, находим

coszdz/sinz=dx/x

Интегрируя, получим

ln|sinz|=ln|x|+ln|C₀| или sinz=±C₀x, siny/x=Cx.

Ответ. y=x arcsinCx, C - произвольная постоянная.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:

dy/dx+p(x)y=f(x), (1) где p(x) и f(x) - заданные на промежутке <a,b> непрерывные функции.

Если f(x)≡0, то уравнение (1) называется линейным однородным, т.е. оно имеет вид

dy/dx+p(x)y=0.

Если f(x)≠0, то (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

В линейном однородном уравнении (2) переменные разделяются:

dy/y=−p(x)dx.

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, находим

ln|y|=−∫p(x)dx+lnC₁, |y|=C₁e^−∫p(x)dx,C₁>0,

или, полагая C=±C1, получим общее решение уравнения (2)

y=Ce^−∫p(x)dx. (3)

Теперь найдем общее решение неоднородного линейного уравнения (1). Для этого воспользуемся общим решением (3) соответствующего однородного уравнения (2). Общее решение уравнения (1) будем искать в виде

y=C(x)e^−∫p(x)dx, (4) где будем считать C не постоянной, а неизвестной функцией x. Подставляя функцию (\ref{eq4}) в дифференциальное уравнение (9), получим

C′(x)e^−∫p(x)dx−C(x)e^−∫p(x)dx·p(x)+p(x)C(x)e^−∫p(x)dx=f(x),или

C′(x)e^−∫p(x)dx=f(x), C′(x)=f(x)e^∫p(d)dx.

Откуда, после интегрирования, имеем C(x)=∫f(x)e^∫p(x)dxdx+C1.

Тогда окончательно, подставляя значение C(x)в (4), находим общее решение дифференциальное уравнение (1):

y=e^∫p(x)dx[∫f(x)e^∫p(x)dxdx+C1].

или

y=e^−∫p(x)dx∫f(x)e^∫p(x)dx+C₁e^−∫p(x)dx. (5)

Отметим, что общее решение (5) дифференциальное уравнение (1) состоит из двух слагаемых, из которых первое является частным решением уравнения (1), получаемого из общего решения (5) при C₁=0, а второе является общим решением соответствующего однородного уравнения (2).

Пример. Найти общее решение дифференциальное уравнение

dy/dx −y/x=x². (6)

Решение. Интегрируем соответствующее однородное уравнение

dy/dx − y/x=0. (7)

Разделяя в дифференциальное уравнение (7) переменные и интегрируя, получим

dy/y=dx/x, ln|y|=ln|x|+lnC, y=Cx.

Общее решение уравнения (6) будем искать в виде y=C(x)x.

Подставляя это в исходное уравнение (6), имеем

dCx/dx + C−C=х², dC=xdx, C(x)=x²/2 + C₁

Отсюда

y=C(x)x=(x²/2+C₁)x или y=C₁x+x³/2.

Ответ. y=Cx+x³/2, C - произвольная постоянная.

Дата добавления: 2015-05-10