Исследование операций в экономике 1 страница

Производная сложной функции

Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 4: . В ходе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что и – постоянные числа, не важно чему они равны, важно, что это - константы. Поэтому выносится за знак производной, а .

Пример 7:

Пример 9:

Пример 12:

Автор: Емелин Александр

Вариант № 7

Специальность

080502 – «Экономика и управление на предприятии (в АПК)»

Студентки V курса группы ЯЭ-51 экономического факультета Яранского филиала ФГБОУ ВПО Вятская ГСХА

заочной ускоренной формы обучения

Дербеневой Олеси Александровны

Набор 2010 года

Преподаватель: Пархачев Андрей Валерьевич

Задача 1

Даны матрица удельных затрат С (тыс. руб.), объемы запасов поставщиков и потребностей потребителей (тонн).

а₁ = 400; a₂ = 500; a₃ = 300; a₄ =450; в₁ = 550; в₂ = 350; в₃ = 600.

Найти план грузоперевозок, позволяющий минимизировать общие затраты.

Решение:

а) Определяем перечень переменных в линейной форме:

х₁- объем груза, перевезенного от 1-го поставщика 1-му потребителю, т;

х₂- объем груза, перевезенного от 1-го поставщика 2-му потребителю, т;

х₃- объем груза, перевезенного от 1-го поставщика 3-му потребителю, т;

х₄- объем груза, перевезенного от 2-го поставщика 1-му потребителю, т;

х₅- объем груза, перевезенного от 2-го поставщика 2-му потребителю, т;

х₆- объем груза, перевезенного от 2-го поставщика 3-му потребителю, т;

х₇- объем груза, перевезенного от 3-го поставщика 1-му потребителю, т;

х₈- объем груза, перевезенного от 3-го поставщика 2-му потребителю, т;

х₉- объем груза, перевезенного от 3-го поставщика 3-му потребителю, т;

х₁₀- объем груза, перевезенного от 4-го поставщика 1-му потребителю, т;

х₁₁- объем груза, перевезенного от 4-го поставщика 2-му потребителю, т;

х₁₂- объем груза, перевезенного от 4-го поставщика 3-му потребителю, т.

б) Формируем систему ограничений:

1) по запасам груза 1-го поставщика, т

;

2) по запасам груза 2-го поставщика, т

;

3) по запасам груза 3-го поставщика, т.

;

4) по запасам груза 4-го поставщика, т

;

5) по потребностям в грузе 1-го потребителя, т

;

6) по потребностям в грузе 2-го потребителя, т

;

7) по потребностям в грузе 3-го потребителя, т

.

в) Целевая функция (минимум затрат, тыс. руб.):

Математическая модель транспортной задачи:

F = ∑∑c_ijx_ij, (1)

при условиях:

∑x_ij = a_i, i = 1,2,…, m, (2)

∑x_ij = b_j, j = 1,2,…, n, (3)

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

				Запасы
	1.4	1.1	0.8
	0.7	1.9	1.5
	1.2	1.3	0.9
		1.1	1.2
Потребности

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 400 + 500 + 300 + 450 = 1650

∑b = 550 + 350 + 600 = 1500

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

					Запасы
	1.4	1.1	0.8
	0.7	1.9	1.5
	1.2	1.3	0.9
		1.1	1.2
Потребности

Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

					Запасы
	1.4	1.1	0.8[400]
	0.7[500]	1.9	1.5
	1.2	1.3	0.9[200]	0[100]
	1.0[50]	1.1[350]	1.2	0[50]
Потребности

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=0.9	v2=1	v3=0.8	v4=-0.1
u1=0	1.4	1.1	0.8[400]
u2=-0.2	0.7[500]	1.9	1.5
u3=0.1	1.2	1.3	0.9[200]	0[100]
u4=0.1	1.0[50]	1.1[350]	1.2	0[50]

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 0.8*400 + 0.7*500 + 0.9*200 + 0*100 + 1.0*50 + 1.1*350 + 0*50 = 1285

Основными небазисными переменными являются

Они связаны с оставшимися от исходных маршрутами грузоперевозок, которые не вошли в оптимальный план данной задачи ввиду их неэффективности с точки зрения влияния на размер целевой функции. Оценки чистого эффекта этих переменных позволяют выявить уровень неэффективности не вошедших в оптимальное решение корреспонденций. Они показывают, на сколько увеличится значение целевой функции оптимального плана грузоперевозок (равное 1285 тыс. руб.), если провезти по данному маршруту 1 т груза. С другой стороны, чистый эффект показывает, на сколько нужно уменьшить удельные затраты по данным маршрутам, чтобы они вошли в оптимальный план наравне с эффективными корреспонденциями. Оценки дополнительных небазисных переменных, они же оценки ограничений, позволяют выявить наиболее эффективных поставщиков груза. Они показывают, на сколько тонно-километров увеличится значение целевой функции, если уменьшить запасы данного поставщика на 1 т, и наоборот, на сколько они уменьшатся.

Задача 2

На предприятии имеется 4920 га пашни, 225 среднегодовых работников, по контрактным договорам нужно реализовать 4750 ц картофеля, 37400 ц молока, 4050 ц прироста КРС.

Отрасли, продукция	Затраты труда на га. гол., чел.-час.	Выход валовой продукции с га, гол, тыс. руб.	Выход/затраты кормов (с 1 га на 1 гол), ц.к.е.	Урожайность/ продуктивность, ц
Зерно Картофель Мн. травы Дойное стадо Молодняк	9,5 7,8	4,8 46,5 6,3 17,25 5,5	11,9 25,4 10,8 32,5 13,8	11,9 105,5 34,4 2,25

Найти оптимальную производственную структуру, позволяющую получить возможно максимальный выход валовой продукции в стоимостном выражении.

Решение:

а) Переменные задачи:

х₁- площадь зерновых, га;

х₂- площадь картофеля, га;

х₃- площадь многолетних трав, га;

х₄- поголовье дойного стада, гол.;

х₅- поголовье молодняка, гол.

б) Система ограничений:

1) по площади пашни, га

;

2) по трудовым ресурсам, чел.-час.

;

3) по реализации картофеля, ц

;

4) по реализации молока, ц

;

5) по реализации прироста, ц

;

6) баланс кормов, ц. к. ед.

.

в) Целевая функция:

.

Решим прямую задачу линейного программирования симплекс-методом..

Определим максимальное значение целевой функции

F(X) = 4.8x₁+46.5x₂+6.3x₃+17.25x₄+5.5x₅

при следующих условиях-ограничений.

x₁+x₂+x₃≤4920

9.5x₁+172x₂+7.8x₃+162x₄+115x₅≤500000

105.5x₂≥4750

34.4x₄≥37400

2.25x₅≥4050

11.9x₁+25.4x₂+10.8x₃-32.5x₄-13.8x₅≥0

1x₁ + 1x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ + 0x₇ + 0x₈ + 0x₉ + 0x₁₀ + 0x₁₁ = 4920

9.5x₁ + 172x₂ + 7.8x₃ + 162x₄ + 115x₅ + 0x₆ + 1x₇ + 0x₈ + 0x₉ + 0x₁₀ + 0x₁₁ = 500000

0x₁ + 105.5x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇-1x₈ + 0x₉ + 0x₁₀ + 0x₁₁ = 4750

0x₁ + 0x₂ + 0x₃ + 34.4x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ + 0x₈-1x₉ + 0x₁₀ + 0x₁₁ = 37400

0x₁ + 0x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 2.25x₅ + 0x₆ + 0x₇ + 0x₈ + 0x₉-1x₁₀ + 0x₁₁ = 4050

11.9x₁ + 25.4x₂ + 10.8x₃-32.5x₄-13.8x₅ + 0x₆ + 0x₇ + 0x₈ + 0x₉ + 0x₁₀-1x₁₁ = 0

1x₁ + 1x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ + 0x₇ + 0x₈ + 0x₉ + 0x₁₀ + 0x₁₁ + 0x₁₂ + 0x₁₃ + 0x₁₄ + 0x₁₅ = 4920

9.5x₁ + 172x₂ + 7.8x₃ + 162x₄ + 115x₅ + 0x₆ + 1x₇ + 0x₈ + 0x₉ + 0x₁₀ + 0x₁₁ + 0x₁₂ + 0x₁₃ + 0x₁₄ + 0x₁₅ = 500000

0x₁ + 105.5x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇-1x₈ + 0x₉ + 0x₁₀ + 0x₁₁ + 1x₁₂ + 0x₁₃ + 0x₁₄ + 0x₁₅ = 4750

0x₁ + 0x₂ + 0x₃ + 34.4x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ + 0x₈-1x₉ + 0x₁₀ + 0x₁₁ + 0x₁₂ + 1x₁₃ + 0x₁₄ + 0x₁₅ = 37400

0x₁ + 0x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 2.25x₅ + 0x₆ + 0x₇ + 0x₈ + 0x₉-1x₁₀ + 0x₁₁ + 0x₁₂ + 0x₁₃ + 1x₁₄ + 0x₁₅ = 4050

11.9x₁ + 25.4x₂ + 10.8x₃-32.5x₄-13.8x₅ + 0x₆ + 0x₇ + 0x₈ + 0x₉ + 0x₁₀-1x₁₁ + 0x₁₂ + 0x₁₃ + 0x₁₄ + 1x₁₅ = 0

Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:

F(X) = - Mx₁₂ - Mx₁₃ - Mx₁₄ - Mx₁₅ → max

Из уравнений выражаем искусственные переменные:

x₁₂ = 4750-105.5x₂+x₈

x₁₃ = 37400-34.4x₄+x₉

x₁₄ = 4050-2.25x₅+x₁₀

x₁₅ = 0-11.9x₁-25.4x₂-10.8x₃+32.5x₄+13.8x₅+x₁₁

которые подставим в целевую функцию:

F(X) = (11.9M)x₁+(130.9M)x₂+(10.8M)x₃+(1.9M)x₄+(-11.55M)x₅+(-M)x₈+(-M)x₉+(-M)x₁₀+(-M)x₁₁+(-46200M) → max

Введем новую переменную x₀ = 11.9x₁+130.9x₂+10.8x₃+1.9x₄-11.55x₅.

Выразим базисные переменные <6, 7, 12, 13, 14, 15> через небазисные.

x₀ = -46200+11.9x₁+130.9x₂+10.8x₃+1.9x₄-11.55x₅-x₈-x₉-x₁₀-x₁₁

x₆ = 4920-x₁-x₂-x₃

x₇ = 500000-9.5x₁-172x₂-7.8x₃-162x₄-115x₅

x₁₂ = 4750-105.5x₂+x₈

x₁₃ = 37400-34.4x₄+x₉

x₁₄ = 4050-2.25x₅+x₁₀

x₁₅ = 0-11.9x₁-25.4x₂-10.8x₃+32.5x₄+13.8x₅+x₁₁

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Поскольку задача решается на максимум, то переменную для включения в текущий план выбирают по максимальному положительному числу в уравнении для x₀.

max(11.9,130.9,10.8,1.9,-11.55,0,0,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0) = 130.9

x₀ = -46200+11.9x₁+130.9x₂+10.8x₃+1.9x₄-11.55x₅-x₈-x₉-x₁₀-x₁₁

x₆ = 4920-x₁-x₂-x₃

x₇ = 500000-9.5x₁-172x₂-7.8x₃-162x₄-115x₅

x₁₂ = 4750-105.5x₂+x₈

x₁₃ = 37400-34.4x₄+x₉

x₁₄ = 4050-2.25x₅+x₁₀

x₁₅ = 0-11.9x₁-25.4x₂-10.8x₃+32.5x₄+13.8x₅+x₁₁

В качестве новой переменной выбираем x₂.

Вычислим значения D_i по всем уравнениям для этой переменной: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

Вместо переменной x₁₅ в план войдет переменная x₂.

Выразим переменную x₂ через x₁₅

и подставим во все выражения.

После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:

x₀ = -46200-49.43x₁-44.86x₃+169.39x₄+59.57x₅-x₈-x₉-x₁₀+4.15x₁₁-5.15x₁₅

x₆ = 4920-0.53x₁-0.57x₃-1.28x₄-0.54x₅-0.0394x₁₁+0.0394x₁₅

x₇ = 500000+71.08x₁+65.33x₃-382.08x₄-208.45x₅-6.77x₁₁+6.77x₁₅

x₁₂ = 4750+49.43x₁+44.86x₃-134.99x₄-57.32x₅+x₈-4.15x₁₁+4.15x₁₅

x₁₃ = 37400-34.4x₄+x₉

x₁₄ = 4050-2.25x₅+x₁₀

x₂ = 0-0.47x₁-0.43x₃+1.28x₄+0.54x₅+0.0394x₁₁-0.0394x₁₅

Полагая небазисные переменные x = (6, 7, 12, 13, 14, 2) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:

x = (49.43, 0, 44.86, -169.39, -59.57, 0, 0, 1, 1, 1, -4.15, 0, 0, 0, 5.15), x₀ = -46200

max(-49.43,0,-44.86,169.39,59.57,0,0,-1,-1,-1,4.15,0,0,0,-5.15) = 169.39

x₀ = -46200-49.43x₁-44.86x₃+169.39x₄+59.57x₅-x₈-x₉-x₁₀+4.15x₁₁-5.15x₁₅

x₆ = 4920-0.53x₁-0.57x₃-1.28x₄-0.54x₅-0.0394x₁₁+0.0394x₁₅

x₇ = 500000+71.08x₁+65.33x₃-382.08x₄-208.45x₅-6.77x₁₁+6.77x₁₅

x₁₂ = 4750+49.43x₁+44.86x₃-134.99x₄-57.32x₅+x₈-4.15x₁₁+4.15x₁₅

x₁₃ = 37400-34.4x₄+x₉

x₁₄ = 4050-2.25x₅+x₁₀

x₂ = 0-0.47x₁-0.43x₃+1.28x₄+0.54x₅+0.0394x₁₁-0.0394x₁₅

В качестве новой переменной выбираем x₄.

Вычислим значения D_i по всем уравнениям для этой переменной: b_i / a_i4

и из них выберем наименьшее:

Вместо переменной x₁₂ в план войдет переменная x₄.

Выразим переменную x₄ через x₁₂

и подставим во все выражения.

После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:

x₀ = -40239.54+12.6x₁+11.43x₃-12.36x₅+0.25x₈-x₉-x₁₀-1.06x₁₁-1.25x₁₂+0.0585x₁₅

x₆ = 4874.98-1x₁-1x₃-0x₅-0.00948x₈-0x₁₁+0.00948x₁₂+0x₁₅

x₇ = 486555.51-68.82x₁-61.63x₃-46.21x₅-2.83x₈+4.98x₁₁+2.83x₁₂-4.98x₁₅

x₄ = 35.19+0.37x₁+0.33x₃-0.42x₅+0.00741x₈-0.0308x₁₁-0.00741x₁₂+0.0308x₁₅

x₁₃ = 36189.54-12.6x₁-11.43x₃+14.61x₅-0.25x₈+x₉+1.06x₁₁+0.25x₁₂-1.06x₁₅

x₁₄ = 4050-2.25x₅+x₁₀

x₂ = 45.02-0x₁-0x₃+0x₅+0.00948x₈+0x₁₁-0.00948x₁₂-0x₁₅

Полагая небазисные переменные x = (6, 7, 4, 13, 14, 2) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:

x = (-12.6, 0, -11.43, 0, 12.36, 0, 0, -0.25, 1, 1, 1.06, 1.25, 0, 0, -0.0585), x₀ = -40239.54

max(12.6,0,11.43,0,-12.36,0,0,0.25,-1,-1,-1.06,-1.25,0,0,0.0585) = 12.6

x₀ = -40239.54+12.6x₁+11.43x₃-12.36x₅+0.25x₈-x₉-x₁₀-1.06x₁₁-1.25x₁₂+0.0585x₁₅

x₆ = 4874.98-1x₁-1x₃-0x₅-0.00948x₈-0x₁₁+0.00948x₁₂+0x₁₅

x₇ = 486555.51-68.82x₁-61.63x₃-46.21x₅-2.83x₈+4.98x₁₁+2.83x₁₂-4.98x₁₅

x₄ = 35.19+0.37x₁+0.33x₃-0.42x₅+0.00741x₈-0.0308x₁₁-0.00741x₁₂+0.0308x₁₅

x₁₃ = 36189.54-12.6x₁-11.43x₃+14.61x₅-0.25x₈+x₉+1.06x₁₁+0.25x₁₂-1.06x₁₅

x₁₄ = 4050-2.25x₅+x₁₀

x₂ = 45.02-0x₁-0x₃+0x₅+0.00948x₈+0x₁₁-0.00948x₁₂-0x₁₅

В качестве новой переменной выбираем x₁.

Вычислим значения D_i по всем уравнениям для этой переменной: b_i / a_i1

и из них выберем наименьшее:

Вместо переменной x₁₃ в план войдет переменная x₁.

Выразим переменную x₁ через x₁₃

и подставим во все выражения.

После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:

x₀ = -4050+0x₃+2.25x₅-0x₈-0x₉-x₁₀-0x₁₁-1x₁₂-1x₁₃-1x₁₅

x₆ = 2001.81-0.0924x₃-1.16x₅+0.0108x₈-0.0794x₉-0.084x₁₁-0.0108x₁₂+0.0794x₁₃+0.084x₁₅

x₇ = 288832.92+0.82x₃-126.02x₅-1.44x₈-5.46x₉-0.8x₁₁+1.44x₁₂+5.46x₁₃+0.8x₁₅

x₄ = 1087.21+0x₃-0x₅+0x₈+0.0291x₉-0x₁₁-0x₁₂-0.0291x₁₃+0x₁₅

x₁ = 2873.17-0.91x₃+1.16x₅-0.0202x₈+0.0794x₉+0.084x₁₁+0.0202x₁₂-0.0794x₁₃-0.084x₁₅

x₁₄ = 4050-2.25x₅+x₁₀

x₂ = 45.02-0x₃+0.00948x₈+0x₁₁-0.00948x₁₂-0x₁₅

Полагая небазисные переменные x = (6, 7, 4, 1, 14, 2) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:

x = (0, 0, -0, 0, -2.25, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1), x₀ = -4050

max(0,0,0,0,2.25,0,0,0,0,-1,0,-1,-1,0,-1) = 2.25

x₀ = -4050+0x₃+2.25x₅-0x₈-0x₉-x₁₀-0x₁₁-1x₁₂-1x₁₃-1x₁₅

x₆ = 2001.81-0.0924x₃-1.16x₅+0.0108x₈-0.0794x₉-0.084x₁₁-0.0108x₁₂+0.0794x₁₃+0.084x₁₅

x₇ = 288832.92+0.82x₃-126.02x₅-1.44x₈-5.46x₉-0.8x₁₁+1.44x₁₂+5.46x₁₃+0.8x₁₅

x₄ = 1087.21+0x₃-0x₅+0x₈+0.0291x₉-0x₁₁-0x₁₂-0.0291x₁₃+0x₁₅

x₁ = 2873.17-0.91x₃+1.16x₅-0.0202x₈+0.0794x₉+0.084x₁₁+0.0202x₁₂-0.0794x₁₃-0.084x₁₅

x₁₄ = 4050-2.25x₅+x₁₀

x₂ = 45.02-0x₃+0.00948x₈+0x₁₁-0.00948x₁₂-0x₁₅

В качестве новой переменной выбираем x₅.

Вычислим значения D_i по всем уравнениям для этой переменной: b_i / a_i5

и из них выберем наименьшее:

Вместо переменной x₆ в план войдет переменная x₅.

Выразим переменную x₅ через x₆

и подставим во все выражения.

После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:

x₀ = -166.06-0.18x₃-1.94x₆+0.0209x₈-0.15x₉-x₁₀-0.16x₁₁-1.02x₁₂-0.85x₁₃-0.84x₁₅

x₅ = 1726.2-0.0797x₃-0.86x₆+0.00927x₈-0.0685x₉-0.0725x₁₁-0.00927x₁₂+0.0685x₁₃+0.0725x₁₅

x₇ = 71303.1+10.87x₃+108.67x₆-2.61x₈+3.16x₉+8.33x₁₁+2.61x₁₂-3.16x₁₃-8.33x₁₅

x₄ = 1087.21+0x₃+0x₈+0.0291x₉-0x₁₁-0x₁₂-0.0291x₁₃+0x₁₅

x₁ = 4874.98-1x₃-1x₆-0.00948x₈+0x₉+0x₁₁+0.00948x₁₂-0x₁₃-0x₁₅

x₁₄ = 166.06+0.18x₃+1.94x₆-0.0209x₈+0.15x₉+x₁₀+0.16x₁₁+0.0209x₁₂-0.15x₁₃-0.16x₁₅

x₂ = 45.02-0x₃+0.00948x₈+0x₁₁-0.00948x₁₂-0x₁₅

Полагая небазисные переменные x = (5, 7, 4, 1, 14, 2) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:

x = (0, 0, 0.18, 0, 0, 1.94, 0, -0.0209, 0.15, 1, 0.16, 1.02, 0.85, 0, 0.84), x₀ = -166.06

max(0,0,-0.18,0,0,-1.94,0,0.0209,-0.15,-1,-0.16,-1.02,-0.85,0,-0.84) = 0.0209

x₀ = -166.06-0.18x₃-1.94x₆+0.0209x₈-0.15x₉-x₁₀-0.16x₁₁-1.02x₁₂-0.85x₁₃-0.84x₁₅

x₅ = 1726.2-0.0797x₃-0.86x₆+0.00927x₈-0.0685x₉-0.0725x₁₁-0.00927x₁₂+0.0685x₁₃+0.0725x₁₅

x₇ = 71303.1+10.87x₃+108.67x₆-2.61x₈+3.16x₉+8.33x₁₁+2.61x₁₂-3.16x₁₃-8.33x₁₅

x₄ = 1087.21+0x₃+0x₈+0.0291x₉-0x₁₁-0x₁₂-0.0291x₁₃+0x₁₅

x₁ = 4874.98-1x₃-1x₆-0.00948x₈+0x₉+0x₁₁+0.00948x₁₂-0x₁₃-0x₁₅

x₁₄ = 166.06+0.18x₃+1.94x₆-0.0209x₈+0.15x₉+x₁₀+0.16x₁₁+0.0209x₁₂-0.15x₁₃-0.16x₁₅

Дата добавления: 2015-05-10