Системы счисления

Кодирование и декодирование

Кодирование информации

Информация передается в виде сообщений. В канале связи сообщение, составленное из символов (букв) одного алфавита, может преобразовываться в сообщение из символов (букв) другого алфавита. Правило, описывающее однозначное соответствие букв алфавитов при таком преобразовании называют кодом. Саму процедуру преобразования сообщения называют перекодировкой. Подобное преобразование сообщения может осуществляться в момент поступления сообщения из источника в канал связи (кодирование) и в момент приема сообщения получателем (декодирование). Устройства, обеспечивающие кодирование и декодирование, будем называть соответственно кодировщиком и декодировщиком.

На рис. 1 приведена схема, иллюстрирующая процесс передачи информации в случае перекодировки, а также воздействия помех.

СООБЩЕНИЕ

Источник

Кодировщик

Приемник

Декодировщик

Помехи

Рис.1 Процесс передачи сообщения от источника к приемнику

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционными системами являются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская система. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:

I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).

Например: III (три), LIX (пятьдесят девять), DLV (пятьсот пятьдесят пять).

Недостатком непозиционных систем, из-за которых они представляют лишь исторический интерес, является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий над ними (хотя по традиции римскими числами часто пользуются при нумерации глав в книгах, веков в истории и др.).

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение (вес), определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число.

Количество различных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием (обозначается р) системы счисления.

Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни. В десятичной системе используются десять арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эта система имеет основание р =10. Следует отметить, что последняя цифра любой позиционной системы счисления равна р -1. Для десятичной системы эта цифра равна 9 (р -1=10-1).

Десятичная система счисления основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Следовательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10. Например, в изображении числа 222.22 цифра 2 повторяется пять раз, при этом первая цифра 2 означает количество сотен (ее вес равен 10²), вторая – количество десятков (ее вес равен 10¹), третья – количество единиц (ее вес равен 10⁰), четвертая – количество десятых долей единицы (ее вес равен 10^-1), пятая цифра – количество сотых долей единицы (ее вес равен 10^-2). То есть число 222.22 может быть разложено по степеням числа 10:

222.22 = 2×10² + 2×10¹ + 2×10⁰ + 2×10^-1 + 2×10^-2.

Аналогичным образом, в виде полинома от основания p можно пред-ставить любое число N в позиционной системе счисления с основанием p:

N = a_npⁿ+a_n-1p^n-1+... +a₁p+a₀+a_-1p^-1+a_-2p^-2+...,

где N - число,

a_i - коэффициенты (цифры числа),

p- основание системы счисления (p> 1).

Сокращенная запись представляет число в виде последовательности цифр:

N = a_na_n-1... a₁a₀. a_-1a_-2....

В этой последовательности точка отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если нет отрицательных степеней (число целое).

В общем случае для задания р -ичной системы счисления необходимо определить основание р и алфавит, состоящий из р различных символов (цифр) а_i, i = 1, 2, …, p. За основание системы можно принять любое натуральное число – два, три, четыре и т.д. Для примера в табл. 2 приведены алфавиты некоторых систем счисления.

Таблица 2

Алфавиты систем счисления

Основание	Система счисления	Алфавит системы счисления
	Двоичная	0, 1
	Троичная	0, 1, 2
	Четверичная	0, 1, 2, 3
	Пятеричная	0, 1, 2, 3, 4
	Восьмеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Десятичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	Двенадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В
	Шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F

Таким образом, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

В вычислительной технике применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.

Двоичная система счисления. Используется две цифры: 0 и 1. В аппа-ратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые могут нахо-диться только в двух состояниях; одно из них обозначается 0, а другое - 1. Поэтому двоичная система является основной системой счисления, применяемой в ЭВМ.

Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда – триада (табл. 2).

Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр - латинскими буквами: 10-A, 11-B, 12-C, 13-D, 14-E, 15-F. Шестнадцатеричная система используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда – тетрада (табл. 2).

Таблица 2

Системы счисления

Десятич-ная	Двоичная	Восьме-ричная	Шестнад-цатеричная	Десятич-ная	Двоичная	Восьме-ричная	Шестнад-цатеричная
							А
							В
							C
							D
							E
							F

Дата добавления: 2015-05-10