Математическая модель

Пусть в популяции с начальной численностью N особей за промежуток времени dt появляется dN овых особей. Если число вновь появившихся особей прямо пропорционально N и dt. то имеем уравнение dN=r*dt*N. Разделив обе части на dt получим

dN/dt = r*N (1)

dN/dt - абсолютная скорость роста численности, r - биотический потенциал

решением уравнения (1) будет

N(t)=N0*ert (2)

в дискретном виде это уравнение можно записать так

N(t+1)=N0*er*(t-t0)

Модель Ферхюльста (рождаемость и смертность с учетом роста численности)

Постановка задачи

Как правило, численность популяции зависит не только от рождаемости и смертности, но и от ограниченности пищевых и других ресурсов. Вскоре за созданием модели Мальтуса, бельгийский математик Ферхюльст задался вопросом: будет ли население Бельгии расти неограниченно? Ответом на этот вопрос было создание новой модели динамики численности популяции при ограниченных ресурсах, описываемая следующим уравнением:

dN/dt=r*N-m*N2(1)

r - удельная скорость роста численности

N - численность популяции

m - число встреч членов популяции, при котором они могут конкурировать за какой-либо ресурс

уравнение это отличается от уравнения экспотенциального роста (уравнения Мальтуса) выражением m*N2, которое как раз и отражает ограниченность ресурсов.

Перепишем уравнение (1) так:

dN/dt=N(r-m*N) (2)

Выражение в скобках - это удельная скорость роста популяции. Причем чем больше численность популяции (N), тем меньше скорость роста.Если в правой части уравнения вынести за скобки выражение r

dN/dt=N*r(1-N*m/r)

и обозначить m/r за 1/K, то уравнение (1) можно переписать так:

dN/dt=N*r(1-N/K) (3)

При малых N значением N/K можно пренебречь, и тогда рост численности идет по экспоненциальному закону, при возрастании N и неизменном K рост численности будет замедляться, и при N близком к К рост остановится. Величину К называют емкостью среды. Она отражает возможности среды обитания предоставить популяции нужные для ее роста ресурсы.

Уравнение (3) графически отображается в виде S- образной кривой. Эта кривая называется логистической кривой, а рост численности,соответствующий уравнению (3) - логистическим.

Исследуя кривую, можно сказать, что максимальная скорость роста достигается, когда численность равна K/2. В некоторый момент численность стабилизируется и остается постоянной величиной.

Популяции, существующие в условиях ограниченных ресурсов, часто хорошо подчиняются правилам логистического роста. Например, когда овцы были завезены в Тасманию, рост их стада описывался логистической кривой.

Но правила логистического роста приложимы не ко всем случаям. Например, у размножающихся половым путем видов, при слишком малой численности мала вероятность встреч особей разного пола и размножение может вообще прекратиться.

Для реализации модели в среде электронных таблиц уравнение (3) следует представить в дискретном виде

N(i+1)=N(i)*r*(1-N(i)/K) (4)

где N(i) - численность популяции в i-й момент времени;

r -удельная скорость роста популяции (рождаемость/ смерность);

К - емкость среды

Дата добавления: 2015-05-31