Алгебра линейных операторов

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

Литература: [6], гл. 3; §3.6-3.9; [ ], гл. 3. §3.5-3.7

Определение. Если задано отображение (закон), по которому каждому вектору пространства ставится в соответствие единственный вектор пространства , то говорят что задан оператор , действующий из в , и обозначают .

Если пространство и совпадают, то оператор отображает пространство в себя. Такие операторы рассматриваются в дальнейшем.

Линейный оператор обладает свойствами:

1. ,

2. .

Пусть - линейный оператор в пространстве и - некоторый фиксированный базис. Разложим векторы по базису :

.

Тогда матрица

(4.1)

называется матрицей оператора в базисе .

Заданием матрицы оператор определяется однозначно, если , то

(4.2)

где - столбцы координат векторов и и - матрица оператора в базисе .

Пусть и - матрицы оператора в базисах и , а - матрица перехода от базиса к базису .

Формула преобразования матрицы оператора при преобразовании базиса имеет вид:

. (4.3)

Пример 1. Пусть в пространстве линейный оператор в базисе задан матрицей

.

Найти образ вектора .

Решение. По формулам (4.2) имеем

.

Следовательно, .

Пример 2. В базисе оператор имеет матрицу . Найти матрицу оператора в базисе .

Решение. Матрица перехода здесь , , а обратная к ней матрица . Следовательно, по формуле (4.3)

.

Найти координаты вектора , если оператор задан матрицей в том же базисе:

4.1.

4.2.

4.3. .

Найти матрицу линейного оператора в базисе , заданного матрицей в базисе :

4.4. .

4.5. .

4.6.

а) ;

б) ;

Дата добавления: 2015-05-26