Дискретна модель методу скінчених елементів

МЕТОД СКІНЧЕНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

Мета лекції. В цій першій лекції з теми «Метод скінченних елементів» вводяться загальні поняття методу. Ключові слова: дискретна модель, система рівнянь методу, матриця жорсткості.

Сьогодні одна із самих розповсюджених моделей чисельного аналізу конструкцій – дискретна модель методу скінчених елементів (МСЕ). Цей варіаційний метод, добре пристосований для реалізації на ЕОМ, має універсальність, що дозволяє розв’язувати чисельно найрізноманітніші задачі.

Метод добре обґрунтований теоретично, накопичено великий досвід алгоритмізації. Його розглядають як загальний метод розв’язоку диференціальних рівнянь, застосування якого до задач розрахунку конструкцій ефективно, задовольняє багатьом вимогам, що ставляться до алгоритму в автоматизованих системах проектування.

У фізичному сенсі в основу методу покладена ідея дискретизації, у математичному – пошук розв’язку крайової задачі шляхом мінімізації відповідного функціонала.

У МСЕ дискретизація полягає у віртуальній заміні суцільного середовища системою елементів скінчених розмірів. Ідея ця висловлювалася ще Пуассоном на початку XVIII століття, але не реалізувалася в зв'язку з громіздкістю ручного розрахунку, проте виявилася дуже зручної при розрахунку на ЕОМ.

У даному випадку моделей конструкцій, поставимо у відповідність дійсній системі дискретну модель, що складається з скінченного числа елементів, які зв'язані між собою в скінченному числі точок, називаних вузлами. Елементи, отримані після членування розглянутої області, залишаються неперервними, суцільними, але форма деформації окремого елемента приймається досить простою. У вузлах прикладені узагальнені зусилля або переміщення, що підлягають визначенню які називаються в методі скінчених елементів ступенями свободи.

Для кожного типового скінченного елементу є нескладним отримати класичними методами чисельного аналізу розв’язок задачі про напружено-деформований стан. Затим, із розв’язків для окремих елементів складається розв’язок для всієї конструкції в цілому.

Така інтерпретація дозволяє описати задану конструкцію системою спільних алгебраїчних рівнянь, добре пристосованої для розв’язку на ЕОМ.

На рис.5.1 зображено два простих приклади. Рама (рис.5.1а) ідеалізується системою з п'яти стержнів такого ж перетину, як і вихідна конструкція. Балка-стінка, показана на рис.5.1б, подана у вигляді дискретної системи, що складається з елементів прямокутної форми.

а. Дійсна система Дискретна модель МСЕ 1 – елементи; 2 - вузли

б. Дійсна система Дискретна модель МСЕ   1 – елементи; 2 - вузли

Рис.5.1. Приклади моделей МСЕ

Зверніть увагу, що на рис.5.1 поз.1 – це є вузли (не шарніри!).

В плані практичної реалізації завдання полягає у тому, щоб за допомогою досить простої функції отримати розв’язок для типового елементу, а потім – розв’язок для заданої конструкції, який містить систему всіх дискретних елементів об’єкту, що розглядається.

Отже повторимо, що основна ідея методу скінчених елементів полягає в наступному: задана конструкція умовно розчленовується на скінченне число елементів, для яких отримують розв’язок за допомогою простої функції. Потім будується розв’язок для всієї конструкції, який в цьому випадку представляється системою спільних алгебраїчних рівнянь. Вектор невідомих, що одержують шляхом розв’язку системи містить всю необхідну інформацію стосовно напружено-деформованого стану конструкції.

Наведена механічна інтерпретація, хоча і наочна, мало що дає для чисельної реалізації. Виникає низка питань: яким чином отримати розв’язок для типового елемента? як підібрати апроксимуючу функцію для елемента? яким чином з розв’язків для окремих скінчених елементів компонується розв’язок для всієї конструкції? і інші. На всі ці запитання дає відповідь математичний опис методу.

Дата добавления: 2015-05-26