Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта




Для дальнейшего изучения евклидовых пространств важно уметь строить в этих пространствах ортонормированные базисы. Как будет показано в следующей теореме, по произвольному базису евклидова пространства всегда можно построить ортонормированный базис.

Теорема 3.6. В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

□ Выберем произвольный базис в -мерном евклидовом пространстве . Существование искомого ортонормированного базиса в пространстве докажем его построением.

На первом шаге положим векторы , , причем .

На втором шаге построим вектор так, чтобы он был ортогонален вектору . Подберем его в виде

.

Из условия ортогональности векторов и получим

,

откуда . Итак, вектор имеет вид

.

Пронормировав его, получим единичный вектор .

На третьем шаге строим вектор

так, чтобы он был ортогонален векторам и . Из условия ортогональности векторов и , и получим

откуда Итак, вектор имеет вид

.

Пронормировав его, получим единичный вектор

Продолжая процесс построения векторов () при условии, что ортогонален векторам , получим

,

.

В силу того, что построенные векторы единичные и попарно ортогональные (а значит, линейно независимые), то они образуют ортонормированный базис евклидового пространства. ■

Рассмотренный выше процесс построения ортонормированного базиса по произвольному базису называют процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Итак, процесс ортогонализации заключается в последовательном вычислении следующих векторов:

Составление ортогонального базиса Процесс нормировки, получение ортонормированного базиса Условия ортогональности векторов
,  
,
, ,
…………………………………… …………….…………… …………………
, , , …………….

Рассмотрим на примере процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.

Пример 3.2. В пространстве со стандартным скалярным произведением задан базис :

.

Провести процесс ортогонализации Грама-Шмидта системы векторов базиса .

Решение. Проведем процесс ортогонализации Грама-Шмидта системы векторов базиса . Согласно предложенной методике решения задачи вычисляем следующие векторы:

, , , ;

, ,

, , ;

, ,

, ,

, .

Итак, ортонормированный базис состоит из векторов:

, , .




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-29; Просмотров: 15819; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.