Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Понятие линейного пространства




Переход от базиса к базису, свойства матрицы перехода.

Примеры базисов. Базис и размерность ЛП решений ОСЛАУ.

Базис и размерность ЛП, разложение вектора по векторам базиса.

Линейная зависимость, независимость системы векторов в ЛП.

Примеры линейных пространств.

Тема 7. Линейные (векторные) пространства

Рязань 2012

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

 

Направление 080100

«Экономика»

 

Очная форма обучения

 


1. Линейные пространства: определение (аксиомы).

Основные теоремы (свойства).

Центральное место среди всех понятий линейной алгебры занимает понятие линейного пространства.

Определение 1.1. Непустое множество элементов (векторов) , …,над которыми определены операции сложения двух векторов (при всех : ) и умножения вектора на число (при всех , : ) так, что выполняются условия (аксиомы):

: при всех ;

: при всех ;

: существует вектор такой, что для каждого ;

: для каждого существует вектор такой, что ;

: для каждого ;

: для каждого , при всех ;

: для каждого , при всех ;

: при всех , для каждого ,

называется линейным пространством.

Согласно определению линейного пространства сумма определена для любых элементов из и всегда является элементом множества . При этом говорят, что множество замкнуто относительно операции сложения. Аналогично, согласно тому же определению, множество замкнуто относительно операции умножения его элементов на действительные числа.

Прокомментируем аксиомы линейного пространства. Условия , называются соответственно аксиомами коммутативности и ассоциативности относительно сложения векторов. Условие есть аксиома существования нулевого вектора в пространстве. Условие есть аксиома существования противоположного вектора для каждого вектора пространства. Условие означает, что число 1 есть нейтральный элемент относительно умножения его на вектор пространства. Условие означает ассоциативность умножения на число. Условия и означают, что умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по числам и векторам соответственно.

В определении линейного пространства важно не только то, из каких элементов состоит базовое множество , но и как введены операции над элементами этого множества. Одно и то же множество при одних операциях может быть линейным пространством, а при других – нет.

Сформулируем простейшие свойства линейного пространства, непосредственно следующие из аксиом линейного пространства.

1) Линейное пространство имеет только один нулевой вектор .

2) Каждый вектор линейного пространства имеет только один единственный противоположный. Противоположным к нулевому вектору является сам нулевой вектор.

3) Если есть противоположный к элементу линейного пространства, то вектор является противоположным к вектору , то есть

.

4) Произведение произвольного элемента линейного пространства на число 0 равно нулевому вектору:

5) Вектор , противоположный данному вектору , равен произведению вектора на число :

.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-29; Просмотров: 1106; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.