Проверка гипотез о параметрах нормальных совокупностей

Пусть − выборка, извлеченная из нормальной совокупности, х_i ~ N (μ, σ²). Относительно параметров μ, σ²возможны гипотезы Н ₀ следующих типов:

а) H ₀: μ = μ₀, σ² − известно; б) H ₀: μ = μ₀, σ² − неизвестно;

в) − известно; г) − неизвестно.

Гипотезы а, в − простые; б, г − сложные. Согласно общим принципам проверки H ₀, необходимо выбрать статистику , распределение которой было бы известно при справедливости H _0. Затем, в зависимости от выдвинутых гипотез H ₁, определить одностороннее или двустороннее множество T _кр заданного размера α. Ниже приведены статистики критериев для проверки гипотез а-г и указано, по каком закону они распределены при справедливости Н ₀:

а) ,

б) , ,

в) , ,

г) , ,

Пример 7. Исследуется коэффициент упругости образцов резины. Для этого измерили его значения у 20 образцов . По техническим условиям требуется, чтобы разброс значений коэффициента около среднего не превышал . Рассмотрим , − не известны (см. гипотезу г). Важно обнаружить отклонение от в большую сторону, поэтому . Тогда , так как большие значения S ²свидетельствуют в пользу . Удобнее, однако, вместо S ²воспользоваться пропорциональной ей статистикой , так как ее распределение при H ₀ известно и равно . Ее большие значения также говорят в пользу Н ₁, т.е. . Зафиксировав некоторый размер критерия α, найдем c ₁ из условия . Имеем

Отсюда , где − квантиль распределения уровня . Если , то . Пусть после проведения эксперимента получено

S ² = 538,2. Тогда вычисленное значение статистики . Гипотеза H ₀должна быть отвергнута.

Дата добавления: 2015-05-26