Элементы теории подобия

Тепловые процессы в горных породах и полезных ископаемых оказывают существенное влияние на сроки и последовательность проведения определенных горнотехнических мероприятий, связанных с добычей, транспортированием и хранением полезного ископаемого. Особенно большой ущерб наблюдается при подземных и открытых горных работах от эндогенных пожаров. В этой связи весьма актуальны методы различного моделирования тепловых процессов для конкретных условий. Получило определенное развитие математическое моделирование на основе распознавания образов, в основе которого лежит большая совокупность свойств полезного ископаемого и условий его добычи и хранения. Но так же, как и решение соответствующей краевой задачи, данный метод редко дает положительные результаты.

Представляется более перспективным физическое моделирование. При этом изготавливаются соответствующие физические модели, задаются (моделируются) источники тепла и экспериментально на стенде измеряются параметры теплового поля.

Для того чтобы параметры, измеренные на модели, отождествить с реальными параметрами теплового процесса, их необходимо умножить на соответствующие модельные множители перехода.

При изготовлении моделей используют теорию подобия, которая базируется на однозначности модельного и реального процессов. Исторически известно геометрическое подобие, то есть когда отношение линейных размеров каких-либо геометрических фигур (больших и малых) равно постоянному числу, которое называют коэффициентом геометрического подобия.

В то же время понятие подобия можно применить и к различным физическим процессам, но они должны быть одного и того же характера. Например, скорость течения среды в натуре и в модели и т. д. Сопоставлять можно только однородные величины в сходственных точках пространства и времени. Тогда отношения физических величин в таких точках и в такие моменты времени не зависят ни от координат, ни от времени.

Следовательно, сущность подобия двух физических процессов (в натуре и на модели) сводится к подобию полей одноименных физических величин.

Числа подобия составляются из величин, характерных для данного процесса. Их обозначают начальными буквами известных ученых.

Для получения чисел подобия необходимо иметь математическое описание физического процесса, например его дифференциальное уравнение. Существует три теоремы подобия.

Первая теорема позволяет определить числа подобия и установить между ними связь.

Вторая теорема позволяет зависимость между переменными в физическом процессе заменить зависимостью между числами подобия.

Третья теорема устанавливает, что подобны только те процессы, условия однозначности для которых подобны.

Критерии подобия – это числа подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности.

Следовательно, не решая дифференциальных уравнений, характеризующих тот или другой физический процесс, можно получить из опытных данных числа подобия и для них уравнения подобия, которые будут справедливы для подобных физических процессов. В данном случае нельзя получить общего решения, но можно получить частное для подобных физических явлений и процессов.

Применение теории подобия предусматривает на первом этапе соблюдение геометрического подобия рассматриваемого процесса в натуре и на модели. Отношение геометрических размеров систем, где рассматриваются подобные процессы, равно постоянной величине. Например,

,

где индексы с двумя штрихами относятся к параметрам натурной системы, а с одним штрихом – к модели.

Подобие физических процессов в натурной системе и в моделирующей системе предполагает также пропорциональность физических параметров в сходственных точках. При этом постоянные подобия данных параметров представляют собой постоянные величины, например отношение скоростей потока по осям х и у обозначим как постоянную:

,

а отношение давлений – С_p; отношение плотностей – С _r и т. д.

После чего записывается дифференциальное уравнение процесса, протекающего в натурной системе. При этом параметры данного процесса записываются с двумя штрихами. После чего параметры с двумя штрихами заменяют параметрами с одним штрихом через постоянные подобия. Необходимо при этом соблюдать правила преобразования производных.

1) для частных производных первого порядка:

;

2) для частных производных n -го порядка:

.

В результате получают дифференциальное уравнение для параметров модели, содержащее комбинации из постоянных. Оба уравнения описывают один и тот же процесс, поэтому комбинации постоянных в уравнении с параметрами для модели должны быть равны друг другу, что означает подобие сил: инерции, давления и трения. Из этого следуют соотношения динамического подобия:

; . (5.12)

Подставляя в эти соотношения значения постоянных, получают следующие выражения:

, (5.13)

а также . (5.14)

Выражение (5.13) носит название числа Рейнольдса, (5.14) – числа Эйлера. Эти числа подобия для течения жидкостей имеют одно и то же значение для реального и модельного процесса. Если в выражении (5.13) изменить параметр v ₀, то получим другие значения чисел Рейнольдса и Эйлера, то есть реальную зависимость
f (v ₀, D p, r) = 0 можно заменить зависимостью

. (5.15)

Выражение (5.15) носит название уравнения подобия. Весьма важно то, что в число Рейнольдса входит множителем скорость, которую можно задавать изначально, то есть число Рейнольдса отвечает условиям однозначности. В число Эйлера входит разность давлений, которая, как параметр, является зависимой, то есть определяемой. Отсюда необходимым и достаточным условием подобия является равенство чисел, например Рейнольдса, которые называются определяющими числами подобия. Другими словами, определяемые числа подобия выражаются через определяющие. Необходимо иметь в виду, что в разных задачах определяющими могут быть разные числа подобия.

Тепловые характеристики теплоносителя характеризуются числом Прандтля:

,

где – кинематическая вязкость; l – коэффициент теплопроводности; с_mp – удельная теплоемкость при постоянном давлении; .

Число Прандтля характеризует тепловое подобие.

Подобность интенсивностей конвективного теплообмена в реальных системах и моделях обеспечивается числом Нуссельта Nu:

,

где a – коэффициент теплоотдачи; l – характерный геометрический размер.

Определяющим числом здесь также служит число Рейнольдса, а определяемым – число Нуссельта. При моделировании других процессов теплообмена, например конвективного и теплопередачи, определяющим может служить число Прандтля, а определяемым – число Нуссельта.

При моделировании свободно-конвективного движения среды определяющими являются число Прандтля и число Грасгофа (Gr), которое составлено из параметров:

,

где g – ускорение свободного падения; b – коэффициент объемного расширения; D T – температурный напор; l – характерный линейный размер; n – кинематическая вязкость.

Таблица 5.7

Числа подобия

№	Название	Формула
	Число Рейнольдса
	Число Прандтля
	Число Эйлера
	Число Нуссельта
	Число Пекле
	Число Грасгофа
	Число Релея
	Число Фурье
	Число Био
	Число гомохронности
	Число Стантона

А определяемым является в данном случае число Нуссельта.

Числа подобия Рейнольдса, Прандтля, Нуссельта и Грасгофа можно использовать при моделировании стационарных процессов теплообмена.

Для моделирования нестационарных процессов применяется число, которое характеризует временное подобие процессов. Это число Фурье

.

где а – коэффициент температуропроводности; t – время; l – характерный геометрический размер. Также применяются и другие числа: Пекле ; Стантона ; Релея ;

Заключение

В представленном учебном пособии рассмотрены основные аспекты физико-математической задачи тепло- и массопереноса. Рассмотренные подходы расчета и преобразования тепловых параметров могут применяться в различных энергетических установках.

Поскольку содержание данной дисциплины предусматривает вопросы преобразования и передачи энергии, то в данном пособии рассмотрены основные законы термодинамики, на которых и базируется курс «Теплофизики» как научной дисциплины. Температура теплофизических процессов может составлять несколько сотен градусов по шкале Цельсия, поэтому в пособии подробно рассмотрены теплофизические свойства газов, жидкостей и твердых тел, а также их зависимость от температуры. Это позволит будущим специалистам найти верные инженерные решения повышения КПД преобразующих установок, выбора оптимальной толщины разделяющих перегородок для обеспечения безопасности персонала и окружающей среды, а также других задач.

В пособии достаточно подробно рассмотрены теоретические аспекты передачи теплоты методами теплопроводности и конвекции. Приведены дифференциальные уравнения теплопроводности и массообмена, сформулированы основные краевые задачи и приведены методы их решения при передаче теплоты через плоскую и цилиндрическую стенку, рассмотрены тепловой поток и массообмен в бинарной смеси газов, что особенно важно при конструировании теплообменных аппаратов. Приведена методика теплового расчета рекуперативных теплообменных аппаратов.

Весьма важным элементом безопасности функционирования теплофизических устройств является температурный контроль протекания технологических процессов. Поэтому в пособии достаточно подробно рассмотрены средства измерения температуры и основные принципы проектирования функциональных схем теплового контроля.

По мнению авторов, некоторые закономерности протекания теплофизических процессов могут быть установлены на стадии проектирования теплообменных аппаратов на основе теории подобия. С этой целью в пособие включены основные элементы теории подобия, приведены основные критерии и методы их получения, а также установлены области, в которых может применяться теория подобия.

Таким образом, данное пособие позволит сформировать у студентов, обучающихся по направлению подготовки 280700.62 «Техносферная безопасность», инженерный подход к обеспечению эффективности и безопасности тепловых технологических процессов.

приложения

Дата добавления: 2015-05-26