Композиция. Любая математическая группа, в том числе и точечная группа симметрии, имеет внутреннюю структуру

Структура группы

Любая математическая группа, в том числе и точечная группа симметрии, имеет внутреннюю структуру.

Операции симметрии можно применять последовательно — одну за другой. Отличительная особенность именно операций симметрии заключается в том, что любая, как угодно длинная, последовательность операций приведет к результату, который может быть достигнут всего в одну стадию — путем применения только одной из операций симметрии, входящей в данную ТГС. Эту особенность принято записывать с помощью специального типа уравнений:

s ^xz _* s ^yz = C ₂ ^z

Приведенное равенство означает, что выполнение двух последовательных отражений (сначала в плоскости yz, а затем в плоскости хz) эквивалентно по своему результату одной операции — повороту на 180° вокруг оси z. Такое выражение называют умножением операций симметрии или их композицией. С помощью процедуры умножения можно строить произведения операции симметрии "на себя", т.е. возводить эту операцию в степень. Характерно то, что любая операция, возведенная в достаточно большую степень, даст в результате единичную операцию: (F) ⁿ = E. Число n называется порядком операции. Так, порядок любого поворота равен нижнему индексу n, порядок любого отражения и инверсии равен 2, порядок единичной операции равен 1.

Подчеркнем, что очередность расположения операций в их композиции, а, соответственно, и очередность их выполнения над объектом может быть существенной. Для некоторых пар операций симметрии выполняется равенство: А * В = В * А, а для некоторых — нет. В первом случае операции А и В называются коммутирующими, а во втором — не коммутирующими. В большинстве ТГС встречаются как коммутирующие так и не коммутирующие между собой операции. Однако, существует небольшое число групп, содержащих только коммутирующие элементы. Такие группы относятся к особому типу коммутативных (или абелевых) групп.

Пользуясь операцией умножения, для любой группы можно построить таблицу умножения. Такая таблица содержит по одному столбцу и одной строке для каждого элемента группы. В клетке таблицы на пересечении столбца i и строки j стоит элемент-произведение с _ij = a _i * a _j. Например, для группы C _{2 v} таблица умножения имеет вид:

C 2 v	E	C 2 ^z	s ^xz	s ^yz
E	E	C 2 ^z	s ^xz	s ^yz
C 2 ^z	C 2 ^z	E	s ^yz	s ^xz
s ^xz	s ^xz	s ^yz	E	C 2 ^z
s ^yz	s ^yz	s ^xz	C 2 ^z	E

Видно, что каждая строка и каждый столбец групповой таблицы содержат каждый элемент группы, причем ровно один раз. Приведенный пример таблицы обладает симметрией, относительно главной диагонали (с _ij = c _ji). Такая симметрия характерна для коммутативных (абелевых) групп.

Еще одна особенность таблицы заключается в следующем. Если рассмотреть только часть таблицы (заштрихована), то можно заметить, что она обладает всеми особенностями групповой таблицы. Другими словами, внутри группы C _{2 v}, содержащей четыре элемента (E, C ₂, s ^xz, s ^yz), существует другая группа меньшего размера, содержащая два элемента (E, C ₂). Такие группы, являющиеся составной частью большой группы, называются ее подгруппами. В частности, в группе C _{2 v} имеется три подгруппы:

(E, C ₂) (E, s ^xz) (E, s ^yz)

Наличие подгрупп и их размеры можно оценить с помощью теоремы Лагранжа, которая утверждает, что число элементов любой подгруппы k должно быть делителем числа элементов группы n. Так в группе С _{2 v} (n = 4) могут быть только подгруппы с k = 2, а в группе O_h (n = 48) можно ожидать наличия подгрупп с k = 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24.

Классы эквивалентности

Иногда в группе симметрии имеется несколько однотипных операций, похожих друг на друга. Рассмотрим для примера группу С _{3 v} , описывающую симметрию объектов в форме треугольной пирамиды (например, молекулы аммиака). Эта группа содержит два поворота вокруг вертикальной оси z — C ₃ ^z (на 120°) и `C ₃ ^z (на 240° или, что то же самое, на –120°) и три отражения в вертикальных плоскостях, пересекающихся друг с другом по оси z и образующих между собой углы в 120°.

Можно заметить, что обе операции поворота (по часовой стрелке и против часовой стрелки) переходят друг в друга в результате отражения в любой из трех плоскостей симметрии. Аналогичным образом, три операции отражения переходят друг в друга при поворотах на 120°. Такие совокупности операций образуют т.н. классы эквивалентности группы. Следовательно, в группе С _{3 v} имеется три класса эквивалентности:

- класс поворотов, содержащий две операции { C ₃ и `С ₃ };

- класс отражений, содержащий три операции { s₁, s₂, s₃ };

- единичный класс, содержащий одну операцию { E }.

Можно заметить, что эти классы непересекающиеся. Другими словами, каждый элемент группы относится только к одному классу эквивалентности. Внутри данного класса все элементы эквивалентны между собой, но любые два элемента из разных классов не эквивалентны друг другу.

В коммутативных (абелевых) группах каждый элемент образует свой индивидуальный класс эквивалентности. Другими словами, в таких группах нет эквивалентных между собой элементов.

Разбиение группы на классы эквивалентности играет важную роль в физико-химических приложениях теории групп.

Дата добавления: 2015-06-04