Типы симметрии

С помощью ТГС объекты различной природы можно классифицировать специальным образом — по типам симметрии.

Рассмотрим снова молекулу воды. Ее симметрия нам известна. Пусть теперь эта молекула находится в движении — она вся, как целое, движется в направлении оси х. Ясно, что каждый атом молекулы также движется в направлении оси х, причем и направления, и величины скоростей отдельных атомов в точности одинаковы.

Подвергнем эту движущуюся молекулу действию операций симметрии, входящих в группу С _{2 v} . В результате действия операции Е, мы не увидим никаких изменений ни в расположении атомов, ни в их скоростях. После поворота движущейся молекулы вокруг оси z на 180° мы увидим, что атомы водорода поменялись местами, их задние половинки поменялись местами с передними, а левые половинки — с правыми. Кроме того, все скорости одновременно изменили свое направление на противоположное. В результате, молекула самосовместилась (в смысле относительного расположения атомов), но стала двигаться в противоположном направлении. После операции отражения в плоскости xz, направление движения не изменится, а после отражения в плоскости yz изменится на противоположное. Полученные результаты можно кратко записать с помощью следующих уравнений:

Результаты действия операций ТГС на молекулу воды, движущуюся в направлении оси х, мы можем суммировать с помощью таблицы:

Операция симметрии	Е	С 2	s ^xz	s ^yz
Характер	+1	–1	+1	–1

Набор чисел во второй строке, показывающих действие каждой из операций симметрии на наш объект, является математическим выражением понятия тип симметрии. Сами же эти числа называются характерами данного типа симметрии. Другими словами, тип симметрии задается набором характеров — по одному на каждую операцию, входящую в ТГС. В математической литературе можно встретить другое название — неприводимое представление (НП) группы симметрии. Дли физико-химических приложений понятия "НП ТГС" и "тип симметрии ТГС" можно рассматривать как полные синонимы.

Число различных типов симметрии для каждой ТГС строго ограничено и равно числу классов эквивалентности данной группы. Поэтому все типы симметрии можно легко перечислить и систематизировать в виде справочных таблиц. Они, обычно, называются таблицами характеров групп и содержатся во всех справочниках. Приведем в качестве примера таблицы характеров групп С _{2 v} . и С _{2 h} :

C 2 v	Е	С2	s ^xz	s ^yz	Типы движений
A1					z
A2			–1	–1	Rz
B1		–1		–1	x, Ry
B2		–1	–1		y, Rx

C 2 h	Е	С2	s ^xy	i	Типы движений
Ag					Rz
Au			–1	–1	z
Bg		–1		–1	x, y
Bu		–1	–1		Rx, Ry

Из таблиц видно, что в обеих этих группах имеется по четыре типа симметрии, которые обозначены специальными символами.

В последнем столбце приведены примеры типов механических движений (x, y, z — трансляции вдоль соответствующих осей, а R_x, R_y и R_z соответствуют вращениям), которые, как обычно говорят, "принадлежат" данным типам симметрии. Видно, что распределение типов движений по типам симметрии разное, т.е. оно зависит от симметрии молекулы.

Подчеркнем, что в любой группе имеется один специальный тип симметрии (А₁ или A_g), для которого все характеры равны 1. Он называется полносимметричным типом и соответствует неподвижной молекуле. По этому типу классифицируются физические величины, не изменяющиеся при действии операций симметрии, такие как энергия, дипольный момент и др., обусловленные внутренним устройством (природой) молекулы, а не конкретным состоянием, связанным с внешними условиями, в которых молекула находится.

В некоммутативных группах действие операции симметрии на физическое свойство молекулы не всегда можно описать посредством умножения на число +1 или –1 по типу: F [ A ] = (±1) A. В общем случае это уравнение выглядит следующим образом:

Видно, что действие операции симметрии описывается не единственным числом, а целой совокупностью таких чисел (a_ij), составляющих квадратную матрицу размером n ´ n. В таких случаях в качестве характеров операций симметрии используются т.н. следы соответствующих матриц (след — сумма диагональных элементов матрицы, у которых оба индекса одинаковы): c = å a_ij. Размер матриц (n) называется размерностью типа симметрии (неприводимого представления). Поэтому можно различать представления одномерные (состоят из матриц 1´1), двумерные (состоят из матриц 2´2), трехмерные (состоят из матриц 3´3) и т.д. В случае коммутативных групп все такие матрицы состоят из одного числа, т.е. все типы симметрии таких групп одномерны.

Дата добавления: 2015-06-04