Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения второго порядка, называемого волновым. Для того чтобы установить вид этого уравнения, найдем вторые производные по каждому из аргументов уравнения плоской волны (22.17):

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

. 22.23)

Сложим первые три уравнения с производными по координатам:

. (22.24)

Выразим из уравнения (22.23): , и учтем, что :

(22.25)

Сумму вторых производных в левой части (22.25) представим как результат действия оператора Лапласа на , и в окончательном виде представим волновое уравнение в виде:

(22.26)

Примечательно, что в волновом уравнении квадратный корень из величины, обратной коэффициенту при производной по времени дает скорость распространения волны.

Можно показать, что волновому уравнению (22.26) удовлетворяет любая функция вида:

, (22.27)

и каждая из них является уравнением волны и описывает некоторую волну.

Дата добавления: 2015-06-04