Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним емкостным элементом

Рассмотрим процессы в цепи при зарядке и разрядке емкостного элемента.

Зарядка емкостного элемента от источника постоянной ЭДС через резистивный элемент. Переходный процесс в цепи на рис. 5.4, а описывается неоднородным дифференциальным уравнением на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома U_R = Ri и соотношения между током зарядки и напряжением в емкостном элементе

Общее решение уравнения (5.18) представляет собой сумму двух составляющих:

и_с = и_Су + и_Ссв.

Первая составляющая соответствует установившемуся режиму

и_Су = Е, (5.19)

так как зарядка емкостного элемента закончится, когда напряжение и_с будет равно напряжению источника ЭДС.

Вторая составляющая соответствует свободному процессу, т. е. решению однородного дифференциального уравнения первого порядка

где р = —1/RC — корень характеристического уравнения

RCp +1 = 0.

Таким образом, общее решение будет иметь вид

Для определения значения постоянной А в (5.21) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (5.2). Будем считать, что до замыкания ключа, т.е. в момент времени t = 0_, емкостный элемент не был заряжен. Поэтому

и_с(0_) = 0 = и_с(0₊) = Е + А,

откуда A = — Е.

Подставив значение постоянной А в (5.21), найдем напряжение на емкостном элементе во время зарядки (рис. 5.4, б):

где τ = R С имеет размерность времени (Ом-Ф = Ом - А- с/В = с) иназывается постоянной времени цепи. Она, как и постоянная времени цепи на рис. 5.1, определяет скорость переходного процесса.

Зависимость от времени напряжения на емкостном элементе [см. (5.22)] определяет зависимости от времени зарядного тока и напряжения на резистивном элементе (рис. 5.4):

Заметим, что в первый момент после замыкания ключа, т.е. при t = 0₊, ток в цепи i(0₊) = E/R; емкостный элемент в этот момент времени как бы коротко замкнут (напряжение на нем равно нулю). Поэтому при малом значении сопротивления R в цепи может наблюдаться значительный скачок тока.

ралу напряжения источника ЭДС Е.

Если на входе цепи действует источник изменяющейся ЭДС е, то может оказаться, что для моментов времени переходного процесса,

пропорционально скорости изменения напряжения источника. Следовательно, цепь с последовательным соединением резистивного и емкостного элементов, так же как и цепь с последовательным соединением резистивного и индуктивного элементов, рассмотренную выше, при определенных условиях можно рассматривать и как интегрирующую, и как дифференцирующую.

В большинстве случаев процесс зарядки можно считать практически закончившимся через интервал времени, равный Зτ. Этот интервал времени может быть достаточно большим (чем больше R и С, тем больше и τ), что широко используется, например, в реле времени — устройствах, срабатывающих по истечении определенного времени.

Разрядка емкостного элемента через резистивный элемент. В электрическом поле заряженного емкостного элемента сосредоточена энергия [см. (2.13)], за счет которой емкостный элемент в течение некоторого времени сам может служить источником энергии. После подключения емкостного элемента, предварительно заряженного до напряжения и_с = Е, к резистивному элементу с сопротивлением R (рис. 5.5, а) ток в цепи будет обусловлен изменением заряда q емкостного элемента (2.11):

где знак минус указывает, что i — это ток разрядки в контуре цепи, обозначенном на рисунке штриховой линией, направленный навстречу напряжению на емкостном элементе.

Составим дифференциальное уравнение переходного процесса в контуре цепи, обозначенном на рис. 5.5, а штриховой линией, на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и соотношения (5.23):

Так как в цепи разрядки емкостного элемента нет источника ЭДС, то дифференциальное уравнение (5.24) однородное и его общее решение состоит только из свободной составляющей (5.20):

Для определения постоянной А в (5.25) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (5.2). Так как до коммутации, т.е. и в момент времени t = 0_, емкостный элемент был заряжен до напряжения источника, то

и_с(0_) = Е= и_с(0₊) = А.

Подставив значение постоянной А в (5.25), получим закон изменения напряжения при разрядке емкостного элемента (рис. 5.5, б):

где τ = RC — постоянная времени цепи.

Разрядный ток найдем по (5.23):

Ток разрядки скачком изменяется от нуля до значения i(0₊) = = E/R, а затем убывает по экспоненциальному закону (рис. 5.5, б).

Дата добавления: 2015-06-25