Среднее квадратическое отклонение и дисперсия

Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из среднего квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической и рассчитывается по следующим формулам:

для не сгруппированных данных:

(6.5)

для сгруппированных данных:

(6.6)

для интервального ряда:

(6.7)

Возведение индивидуальных отклонений в квадрат и последующее извлечение квадратного корня вызвано, как уже говорилось, тем, что суммирование отклонений в первой степени приводит к нулевому результату.

Среднее квадратическое отклонение является общепринятым показателем вариации: при его определении принимаются в расчет все отклонения значений варьирующего признака от среднего. Проиллюстрируем расчет среднего квадратического отклонения для ранжированного и интервального вариационных рядов.

Пример. Пусть испытываются шесть лампочек на продолжение горения. Результаты испытания представлены в табл. 6.3 (дискретный вариационный ряд).

Таблица 6.3

Результаты испытаний лампочек

Порядковый номер испытания	Продолжительность горения лампочки, час (х,)
		+20
		-25
		+5
		-10
		+10
ИТОГО:

Рассчитаем среднюю арифметическую и среднее квадратическое отклонение:

Это означает, что в среднем продолжительность горения лампочки в изучаемой совокупности отклонялась от средней продолжительности в целом по совокупности на 14,3 часа.

Пример. Рассчитаем среднее квадратическое отклонение срока обращения облигаций. Исходные данные для расчета и промежуточные вычисления представлены в табл. 6.4 (интервальный вариационный ряд).

Рассчитаем среднюю арифметическую величину срока обращения акций и среднее квадратическое отклонение:

;

Таблица 6.4

Срок обращения облигаций

Срок обращения облигаций, мес (х)	Количество облигаций, шт (f)
до 2				– 4,6	21,16	317,4
2 – 4				– 2,6	6,76	87,88
4 – 6				– 0,6	0,36	10,44
6 – 8				1,4	1,96	43,12
8 – 10				3,4	11,56	138,72
10 и более				5,4	29,16	262,44
ИТОГО:		–		–	71,40	860,00

В научной статистике широко используется показатель вариации, называемый дисперсией. Дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической.

Дисперсия вычисляется по следующим формулам.

Для не сгруппированных данных:

. (6.8)

Для сгруппированных данных (дискретный ряд):

. (6.9)

Для интервального ряда:

. (6.10)

На дисперсии основаны практически все методы математической статистики.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение – наиболее широко применяемые показатели вариации. Объясняется это тем, что они входят в большинство теорем теории вероятности, служащих фундаментом математической статистики. Кроме того, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака.

Рассмотренные ранее показатели вариации, за исключением дисперсии, выражались в единицах измерения варьирующего признака. Так, например, среднее квадратическое отклонение урожайности пшеницы измеряется в центнерах. Так как среднеквадратическое отклонение – число именованное, то оно неудобно для сопоставления вариации различных признаков. Например, вычислив среднее квадратическое отклонение производительности работы и заработной платы рабочих, невозможно определить, вариация какого признака больше, т.к в первом случае она измеряется в единицах продукции (деталях), во втором – в гривнях.

Дата добавления: 2015-06-26