Выделяют дисперсию общую, групповую и межгрупповую

Общая дисперсия была разобрана выше, простая и взвешенная. Она отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в совокупности.

Групповая (частная) дисперсия измеряет вариацию внутри группы. Она тоже может быть простой и взвешенной. σi² = ∑(Х- ) ²ni / ∑ni

Средняя из внутригрупповых (частных) дисперсий – это средняя арифметическая взвешенная из дисперсий групповых: σi² = ∑σ²i ni∑ni – это средняя отражает случайную вариацию.

Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней δ² =∑( - )²: n – характеризует вариацию результативного признака за счет группировочного признака. δ² = ∑( - )²: ∑f i – межгрупповая дисперсия измеряет вариацию между частными совокупностями. -средняя по каждой отдельной группе, -средняя по всей совокупности.

При δ² = 0 можно утверждать, что связь между изучаемыми признаками отсутствует.

Между указанными видами дисперсий существует определенное соотношение: Правило сложения дисперсий. Сложив среднюю внутригрупповых дисперсий с дисперсией групповых средних, получим общую дисперсию. Общая дисперсия признака всегда равна средней внутригрупповых дисперсий плюс дисперсия групповых средних.

σ²о = σi² + δ²- Зная две величины всегда можно определить третью величину. Зная, общую дисперсию и дисперсию групповых средних, можно судить о силе влияния группировочного признака. σо² = σi² + δ²

σо² - общая дисперсия, σi² - средняя из частных дисперсия,

δ² – межгрупповая дисперсия

Пример. Имеются данные о производительности труда за час работы, представленные в табл.

Групповая дисперсия – 1= 90:6 = 15 2= 126: 6 = 21

Средняя из групповых σi² = 10:6= 1,67 σi² = 28:6 = 4,66

σi²=/(1,67 х 6) +(4,66 х6)/: 12 = (10 +28): 12 = 38:12=3,16

№таб.раб.	Изготовлено продукции за час х	Х-	(Х- )²	№таб.раб.	Изгото влено продукции за час х	Х-	(Х- )²
		-2				-3
		-1				-2
						-1

Межгрупповая дисперсия. Средняя взвешенная из групповых средних –

= (15х6 +21х6): 12 =(90 +126):12 = 18

δ²= /(15-18)²х6 +(21-18)² х6/: 12=108:12= 9

Общая дисперсия по правилу сложений дисперсий: σо²= 3,16 +9 = 12,16

Проверим общую дисперсию обычным способом: σо² = (13-18)² +(14- 18)²…+(23-18)²: 12 = 146:12= 12,16

Правило сложения дисперсий используется в статистике для определения степени связи между изучаемыми признаками. Степень влияния признака – фактора, положенного в основание группировки, можно измерить при помощи либо коэффициента детерминации, либо эмпирического корреляционного отношения.

Коэффициент детерминации η²: - показывает какая доля всей вариации признака обусловлена признаком, положенным в основание группировки.

η² = δ²: σо²

Корень из коэффициента детерминации называют эмпирическим корреляционным отношением –: η - показывает тесноту связи между признаками группировочным и результативным. Это отношение может принимать значения от 0 до 1. η= √δ²: σо²

Пример: На 2- м курсе экономического факультета одного из ВУЗов есть 2 группы студентов. В 1-й группе занимаются студенты после окончания колледжа, во 2-й группе – после школы. По результатам зимней экзаменационной сессии сделаем расчет общей, частной и межгрупповой дисперсий, а также степень влияния на оценку студента наличие или отсутствие спец.эконом. подготовки.

Расчет общей, частной, групповой и межгрупповой дисперсий

№ группы	Сред-ний балл   xi	Число сту-ден-тов ni	Средне-квадра- тическое отклоне- ние в группе σi	Групп-повая (част- ная) диспер- сия σi²	xi ni	σi² ni	(xi–)	(xi–) ²	(xi–) ² ni
	3,6		0,1	0,01	86,4	0,24	0,24	0,057	1,368
	3,1		0,2	0,04	65,1	0,84	0,26	0,0676	1,4196
					151,5	1,08		0,1252	2,7876

Найдем общий средний балл на курсе = (∑xi ni): ∑ ni = 151,5:45 = 3,36 Среднюю из групповых (частных) дисперсий определим по формуле:

σi² = ∑ σi² ni: ∑ ni = 1,08:45= 0,024

Межгрупповая дисперсия равна: δ²= ∑( i– ) ² ni: ∑ ni = 2,7876: 45 = 0,0619

Тогда общая дисперсия по правилу сложения дисперсий составит:σо² = σi² + δ² = 0,024 + 0,0619 = 0,0859. Следовательно, фактор положенный в основу группировки, существенно влияет на средний балл студента (на его успеваемость).

Дата добавления: 2015-06-26