Определение реакций опор твердого тела, закрепленного при помощи жесткой заделки

Рассмотрим равновесие стержня, закрепленного при помощи жесткой заделки. Для этого стержень будем считать свободным, заменив действие отброшенных связей их реакциями. В рассматриваемой задаче число неизвестных реакций равно трем: две силы и, и пара сил с моментом. На рисунке направление реакций выбраны произвольно. Распределенную нагрузку заменим статически эквивалентной сосредоточенной силой Q, приложенной посередине участка, на котором действуют распределенные силы, и имеющей модуль:

Введем декартову систему координат, начало О которой совместим с осью, проходящей через жесткую заделку А, ось Ох направим по горизонтали вправо, ось Оу – по вертикали вверх, а ось Оz – перпендикулярно плоскости, так чтобы система координат Oxyz была правой. Условия равновесия стержня имеют вид:

Чтобы записать условия равновесия, определим проекции на оси Х и У действующих на тело сил. Кроме этого определим проекции на ось Z моментов относительно точки А действующих на тело сил и пар сил. Составим таблицу:

Силы и пары сил	Проекции сил на координатные оси	Координаты точек приложения сил	Моменты сил та пар сил (x* -y* )
		x	y
	P*cos(α)	-P*sin(α)	-(m-d)	-A	P*sin(β-α)* (m-d) + A*P*cos(β-α)
		-Q	-(a-2d)	-b	Q*(a-2d)
	-	-	-	-	-M
		-	-	-

Примечания:

m = b/tgα

A =

Используя данные из таблицы, получаем условие равновесия стержня в виде:

P*cos(β-α) =0

-P*sin(β-α) –Q + =0

P*sin(α)* (m-d) +A*P*cos(α) +Q*(a-2d) -M =0

Условия равновесия рассмотрим, как систему уравнений для определения неизвестных реакций:

= P*cos(β-α)

= P*sin(β-α) +Q

= -P*sin(β-α)* (m-d) – A*P*cos(β-α) -Q*(a-2d) +M

В рассматриваемой задаче уравнения системы для определения неизвестных реакций не связаны друг с другом – каждое уравнение содержит только одну неизвестную реакцию и, поэтому, могут быть решены независимо друг от друга. Это обстоятельство связано с тем, что в качестве центра выбрана точка А в жесткой заделке стержня.

Чтобы определить реакции в жесткой заделке, вычислим величины, входящие в уравнения равновесия:

m = 2/ =1,15(м)

А = =1,1 (м)

Далее, используя результаты, определим реакции опор при помощи уравнений равновесия:

= 3500*0,5 = 1750 (Н)

= 3500*0,86 +3000 = 3010+3000= 6010 (Н)

= -3500*0,86*0,65 – 1,1*3500*0,5 -3000*4 + 4000 = -1956,15 – 1925,5 -12000 + 4000

= -11881,65 (Н)

Для проверки решения определим сумму моментов относительно точки стержня, расположенной на его свободном конце, всех действующих на стержень сил и пар сил:

Силы и пары сил	Проекции сил на координатные оси	Координаты точек приложения сил	Моменты сил та пар сил (x* -y* )
		x	y
	P*cos(α)	-P*sin(α)	a-m+d	b-A	-P*sin(β-α)* (a-m+d) - (b-A)*P*cos(β-α)
		-Q	2d		-Q*2d
	-	-	-	-	-M
			a	b	Ha*b
			a	b	Va*a
		-	-	-

-P*sin(β-α)* (a-m+d) - (b-A)*P*cos(β-α) -Q*2d-M+Ha*b + Va*a + Ma = -3500*0,86*4,35 - 0,9*3500*0,5 - 3000 - 4000 + 1750*2 + 6031*5 – 11881,5 = -13184,85 – 1529,5 - 3000 – 4000 + 3500 + 30050 – 11881,65 = -46 (H)

Дата добавления: 2015-06-04