Теоретичні відомості. Правила округлення і правила наближених обчислень

Правила округлення і правила наближених обчислень. В кожній лабораторній роботі вимірюються різні величини і з різним степенем точності. Точність кожного з вимірювань впливає на точність результату. Тому перед вимірюванням фізичних величин необхідно встановити допустимі межі точності всіх приладів, що використовуються. Немає сенсу в окремих вимірюваннях виходити далеко за межі точності величини, яка вимірюється з найменшою точністю.

Нехай при вимірюванні в деякій роботі використовується термометр з найменшою поділкою шкали 0,2⁰С. При визначенні різниці температур два рази відраховувалися положення стовпчика ртуті – на початку і наприкінці досліду, тому абсолютна похибка температури буде 0,2⁰С. При зміні температури на 10⁰С відносна похибка дорівнює . З якою точністю необхідно зважувати тіла, якщо найменша маса в даному досліді 100г?

Щоб відповісти на це питання, необхідно прийняти до уваги похибку вимірювання температури. Оскільки відносна похибка при вимірюванні температури була 0,02, то відносна похибка і для маси повинна бути близькою до цього значення: , тобто абсолютна похибка для маси Δm = 2г. Ця величина вказує на те, що при зважуванні абсолютна похибка не повинна перевищувати 2г. Необхідну точність зважування можна досягнути на технічних вагах.

Точність обчислень завжди повинна відповідати точності вимірювань. Зайва “точність” обчислень - не досконалість, а недолік в роботі. Наприклад, якщо середнє арифметичне значення товщини пластинки після розрахунку дорівнювало 2,2543мм при абсолютній похибці вимірювань 0,03мм, то при цьому показано лише вміння формально виконувати арифметичні дії з числами без розуміння теорії похибок вимірювання. Щоб не витрачати часу для досягнення надлишкової арифметичної точності, необхідно всі отримані величини перед підстановкою у формули округляти.

Округляючи наближене число, необхідно відкидати останні цифри, якщо перша з цифр, що відкидаються, менша 5, і додавати одиницю до попередньої цифри, якщо перша з цифр, що відкидаються, дорівнює або більше 5. При цьому говорять, що округлення зроблено з недостачею або з надлишком, дивлячись по тому, чи залишена остання цифра без зміни, чи збільшена на одиницю.

Щоб за числом, яке відображає результат вимірювання або обчислення, можна було судити про ступінь точності, умовимося писати це число так, щоб в ньому всі значущі цифри, крім останньої, були вірні.

Термін “значущі цифри” не слід змішувати з терміном “десяткові знаки” числа. Значущі цифри числа – це всі його цифри, крім нулів, що стоять попереду числа, і нулів, поставлених замість цифр, які були відкинуті при округленні. Десяткові знаки числа – це всі його цифри, розташовані праворуч від коми. Наприклад, число 25,002 має п’ять значущих цифр, а десяткових знаків – три; число 0,0034 має дві значущі цифри, але чотири десяткових знаки; число 2300 має чотири значущі цифри, а число 2,3 ·10³ має дві значущих цифри (в останньому запису нулі вважаються поставленими при округленні числа).

Якщо обчислення проводяться з наближеними даними шляхом декількох дій, то в результатах проміжних дій треба зберігати на одну значущу цифру більше порівняно з точністю величин, які визначаються в даному досліді (тобто дві сумнівні цифри).

При всіх арифметичних діях над наближеними числами в кінцевому результаті необхідно зберігати стільки десяткових знаків, скільки їх мають наближені дані з найменшим числом десяткових знаків.

Як уже відмічалося, абсолютна похибка результату вказує межі вимірюваної або визначуваної (прямі вимірювання) величини, іншими словами, вона характеризує останню значущу цифру вимірюваної або визначуваної величини. Тому в абсолютній похибці слід обмежуватися однією значущою цифрою і лише при дуже точних наукових вимірюваннях - двома.

Загальні методичні вказівки до лабораторних робіт. Щоб заняття проходили успішно і мали користь для студентів, до них необхідно готуватися, використовуючи при цьому рекомендовану літературу: підручники з фізики і посібники з лабораторних робіт.

Для виконання лабораторних робіт студенти розподіляються на бригади по два студенти в кожній. Склад і номер бригади не змінюються до кінця семестру. Користуючись спеціальним графіком і списком лабораторних робіт, кожна бригада завчасно знайомиться з комплексом лабораторних робіт, які їй треба буде виконати протягом семестру, і з тією літературою, за якою можна готуватися до цих занять. Графік вивішується на видному місці в спеціальній вітрині лабораторії фізики. В першому стовпчику графіка по вертикалі вказуються номера бригад, а в першому рядку – номери занять. Під номерами занять вказані номери лабораторних робіт, під якими вони знаходяться в книзі і лабораторії. Напроти номера кожної бригади у горизонтальному рядку вказані номери робіт.

Таким чином, студент вже на вступному занятті, після розподілу на бригади, дізнається про строки і послідовність виконання лабораторних робіт протягом семестру. Таким чином, він має можливість підготуватися до наступного заняття.

Попередня підготовка до лабораторної роботи. До виконання лабораторної роботи студент повинен добре підготуватися. Спочатку необхідно прочитати весь опис лабораторної роботи, щоб, не вдаючись у деталі, з’ясувати ідею роботи в цілому і зрозуміти її суть, продумати її і виділити головні місця для конспектування. При другому читанні необхідно глибоко вивчити теоретичні обґрунтування лабораторної роботи і законспектувати їх, потім прочитати і законспектувати ту частину опису лабораторної роботи, яка залишилася. “Теоретичні відомості” викладені стисло і не можуть замінити собою підручника. Тому для уточнення і більш глибокого вивчення деяких питань теорії слід, крім опису лабораторної роботи, ознайомитися з рекомендованою літературою (підручники фізики). Якщо після цього залишаються незрозумілі питання, їх слід з’ясувати у викладача перед виконанням лабораторної роботи. В конспекті, крім стислого викладення прочитаного і математичних висновків, даються також схеми і рисунки приладів. Записи в конспекті необхідно вести акуратно і розбірливо.

Перед тим, як виконувати лабораторну роботу, студент повинен вміти відповісти на розташовані в кінці опису лабораторної роботи питання, які мають своєю метою сприяти більш глибокому розумінню і засвоєнню лабораторної роботи.

Необхідно пам’ятати, що без уважної, глибокої підготовки ефект лабораторних занять і користь від них будуть значно меншими.

Проведення лабораторних занять. Приступаючи до роботи в лабораторії (робоче місце знаходимо за номером роботи) необхідно перевірити, чи всі прилади, які вказані в описі роботи, є на лабораторному столі. Прилади, яких недостає, можна отримати у лаборанта. Шукати самому ці прилади і брати їх з інших робочих місць категорично заборонено, тому що вони призначені для інших робіт або можуть не підходити для даної роботи, хоча ззовні будуть схожі на необхідні прилади.

Потім слід ознайомитися з приладами в цілому і з їх деталями. Поводитися з приладами треба обережно. Якщо при цьому буде виявлена якась несправність в приладі, необхідно негайно повідомити про це керівника лабораторного заняття. До нього треба звертатися і в тому випадку, коли виникають ті чи інші питання при ознайомленні з приладами.

Після ознайомлення з приладами можна приступати до виконання завдання, дотримуючись послідовності, вказаної в описі лабораторної роботи, а також використовуючи практичні вказівки. Уважна підготовка і ретельне виконання роботи забезпечують достовірні результати.

Результати вимірювань, обчислень і інші величини, які необхідні в роботі, разом з їх абсолютними похибками записуються в таблицю, розташовану в пункті “Виконання роботи”.

Результати вимірювань і дані необхідно записувати чітко і відразу після їх отримання. Слід пам’ятати, що результат роботи залежить не тільки від точності вимірювальних приладів, але і від ретельності вимірювань, від правильного їх запису. Неохайності, допущені в записах, при обробці результатів роботи можуть привести до грубих помилок і неправильних висновків.

В ході роботи буває корисним схематичний рисунок приладів і устаткування, електричної схеми установки. Після закінчення вимірювань за формулою, заданою в “Теоретичних відомостях”, визначають чисельне значення вимірюваної величини. З метою контролю результату дуже корисно, крім обчислень на папері, проводити наближені розрахунки усно. Необхідно встановити і записати абсолютні похибки всіх вимірюваних величин, користуючись вказівками, даними в описі роботи, обчислити їх, виходячи з точності приладів або за результатами вимірювань.

Результати всіх вимірювань, спостережень, обчислень і абсолютні похибки вимірюваних величин показують керівнику лабораторного заняття. Робота вважається виконаною в тому випадку, якщо керівник заняття дасть позитивну оцінку одержаним результатам. Після цього всі прилади і обладнання необхідно привести в той стан, в якому вони знаходилися до початку роботи.

Експериментатор повинен бути впевненим в правильності експериментальних даних, а це можливо тільки в тому випадку, якщо всі вимірювання здійснювалися кілька разів і кожен раз однаково ретельно.

Студенти, які з’явилися в лабораторію без конспектів з описом лабораторної роботи або не виявили знання з роботи при опитуванні, до виконання її не допускаються.

Оформлення результатів роботи. Звіт про виконання лабораторної роботи складають і здають викладачу, як правило, в день її виконання, але не пізніше наступного заняття. Звіт пишуть в спеціальному зошиті для лабораторних робіт або на окремому аркуші паперу. В звіті вказується дата виконання роботи, робоча формула, таблиця з результатами вимірювань, вимірювана величина, розрахунок відносної і абсолютної похибок, запис вимірюваної величини з абсолютною похибкою. Крім того, в звіті повинна бути схема або схематичний рисунок установки і приладів.

Безумовно, в деяких роботах будуть відхилення від вказаної схеми. Так, якщо результати роботи зображаються графічно, то проводити розрахунок похибок у кожній точці зазвичай не потрібно. В деяких роботах визначають абсолютну похибку середнього значення вимірюваної величини, а потім відносну похибку і т.д.

Графічний спосіб представлення результатів досліду. В тих лабораторних роботах, в яких необхідно простежити залежність однієї фізичної величини від іншої, результати роботи зображаються графічно. Для цього одну з величин задають довільно, а іншу вимірюють для кожного значення першої. Результати вимірювань представляють в прямокутній системі координат (в деяких випадках результати роботи зручніше представляти в полярних, циліндричних чи сферичних координатах). Довільно обрана величина є незалежною змінною, вона відкладається по осі абсцис. Залежна величина, яка називається функцією, відкладається по осі ординат.

Масштаби значень величин вибираються із міркувань наглядності графіків. Початок координат не обов’язково повинен мати значення нуль, він може починатися по відповідній осі з найменшого значення вимірюваної величини. З метою правильного використання всієї площі графіка необхідно визначити різницю між найбільшим і найменшим значеннями величини, що відкладається вздовж осі, і на одержане число поділити довжину відповідної координатної осі(довжини осей повинні бути приблизно рівними між собою, порядку 10 – 12 см). Результат ділення округляють та приймають за масштаб відповідної координатної осі. Проти кожної поділки на координатних осях треба написати числа, які відповідають величині, що відкладається, а на кінцях координатних осей (біля стрілок) – літерне позначення цих величин і, після коми, - її розмірність.

Кожній парі взаємозв’язаних чисел відповідає точка на площині. Точки, нанесені на графік, слід обводити кружками з радіусом, який дорівнює абсолютній похибці величини, що вимірюється. Через отримані точки проводять плавну криву, яка називається графіком функції. Спочатку криву креслять чорним олівцем, а потім остаточно наводять чорнилом чи пастою кулькової ручки. Криву, нарисовану від руки олівцем, витирають гумкою (при цьому точки повинні залишатися незайманими).

Сумнівні значення, якщо це можливо, перевіряють знову, і виявлені промахи не беруть до уваги при обробці результатів.

Для полегшення побудови графіків слід користуватися міліметровим папером.

Побудовані за експериментальними даними графіки дають досить наочне уявлення про залежність між величинами, які відкладаються вздовж координатних осей.

Користуючись графіком, можна в межах проведених вимірювань визначити ті значення величин, які експериментально не спостерігалися. Знаючи одну з таких величин, наприклад, точку на осі абсцис, можна визначити відповідну їй ординату, провівши через задану абсцису пряму, паралельну осі ординат, до перетинання з кривою. Чисельне значення довжини ординати і буде шуканим значенням величини, що відповідає заданому значенню величини, відкладеної по осі абсцис.

Лабораторна робота № 101

Визначення густини тіл правильної геометричної форми

Мета роботи:

1.Навчитися за допомогою штангенциркуля і мікрометра вимірювати лінійні розміри тіл.

2.Визначити густину тіл правильної геометричної форми і обчислити відносну і абсолютну похибки вимірювань.

Прилади і обладнання: тіла правильної геометричної форми (паралелепіпед циліндр, куля); ваги і гирьки; штангенциркуль; мікрометр.

Густина речовини є величина, яка визначається масою речовини в одиниці об’єму. Якщо маса тіла m, а його об’єм V, то густина тіла ρ визначається за формулою:

. (1)

У даній роботі маємо тіла правильної геометричної форми, їх об’єми обчислюються за відомими формулами стереометрії. Підставивши значення об’ємів відповідних тіл у формулу густини (1), одержимо формули густини речовини відповідних тіл: для паралелепіпеда

; (2)

для циліндра

; (3)

для кулі . (4)

Масу знаходять зважуванням тіла на технічних вагах, а лінійні розміри тіл правильної геометричної форми визначають за допомогою штангенциркуля чи мікрометра.

Дата добавления: 2015-06-26