Необходимый признак сходимости ряда

Критерий Больцано-Коши сходимости ряда.

Свойства сходящихся рядов.

Пусть , , и - постоянная величина. Тогда:

1. ,

2. ,

3. Если ряд сходится, то сходятся так же и другие ряды, полученные из исходного ряда добавлением, удалением или перестановкой конечного числа членов. (Сумма ряда может измениться).

Исходим из критерия Больцано-Коши для сходимости последовательности частичных сумм .

(Ряд сходится) .

Теорема 1. Если ряд сходится, то .

Доказательство. . Ряд сходится . Тогда .

Важный пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.

Пример 8.2. Ряд называется гармоническим. Очевидно, т.е. общий член стремится к 0. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Больцано-Коши. Следует доказать, что

.

В качестве выберем число . Берем любое и любое . Пусть . Тогда

.

Утверждение 2. (Достаточный признак расходимости ряда) Если , то ряд – расходящийся.

Дата добавления: 2015-06-04