Перпендикулярность прямых и плоскостей

Две прямые называются перпендикулярными, ели они пересекаются под прямым углом.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости. α

ϵ α

Две плоскости называются перпендикулярными, если пересекаясь, они образуют прямые двугранные углы. α

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

l

l l α

∩

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях:

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. ǁ α

α

2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

α ǁ

α

3. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой. α ǁ l

l α

4. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Перпендикуляр и наклонная α

Теорема. Если из одной точки вне плоскости проведены I α

Перпендикуляр и наклонные, то:

1) Наклонные, имеющие равные проекции, равны;

2) Из двух наклонных больше та, проекция которой больше;

3) Равные наклонные имеют равные проекции;

4) Из двух проекций больше та, которая соответствует большей наклонной.

Теорема о трёх перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной.

l ϵ α i ∩ α=C ∩ =A

α

l

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Дата добавления: 2015-06-04