Вектор ускорения точки

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени.

В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате .

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость v, а в момент t₁ приходит в положение M₁ и имеет скорость v₁ (рис. 8).

Рис.8

Тогда за промежуток времени ∆t=t₁-t скорость точки получает приращение . Для построения вектора отложим от точки М вектор, равный v ₁, и построим параллелограмм, в котором диагональю будет , a одной из сторон . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор . Заметим, что вектор всегда направлен в сторону вог­нутости траектории.

Отношение приращения вектора скорости к соответствующему про­межутку времени ∆t определяет век­тор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и век­тор , т.е. направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорением точки в данный момент времени t называется век­торная величина , к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени ∆t к нулю: Вектор ускорения точки в данный момент време­ни равен первой производной от вектора скорости или второй произ­водной отрадиуса-вектора точки по времени.

Найдем, как располагается вектор по отношению к траекто­рии точки. При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которойдвижется точка.

При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (рис. 9, а) векторы и сонаправлены () и проекция ускорения на направление движения положительна.

При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 9, б) направления векторов и противоположны () и проекция ускорения на направление движения отрицательна.

Рис.9

Если траекторией точки явля­ется плоская кривая, то вектор ускорения , так же как и вектор , лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор на­правлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, про­ходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, па­раллельную касательной в соседней точке M ₁ (рис. 8). В пределе, когда точка М стремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т.е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Определение ускорения при координатном способе задания движения

Вектор ускорения точки в проекции на оси получаем:

Или

т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул

где α₁, β₁, γ₁ - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.

Пример 3. Движение точки задано уравнениями x=2t, y=3-4t².

Из первого уравнения t=x/2. Подставив во второе, получим уравнение траектории: y=3-x²

Это уравнение параболы. В на­чале движения, при t=0, точка находи­лась на самом верху, в положении M ₀ (x₀=0, y₀=3 см).

А, например, при t =0,5 c она будет в положении M с координатами x₁=1 см; y₁=2 см.

Проекции скорости на оси v_x= =2см∙с^-1, v_y= =-8t см∙с^-1.

При t =0,5 c, v_x=2см∙с^-1, v_y=-4 см∙с^-1.

И модуль скорости

Составляющие скорости по осям и вектор её показаны в масштабе на рис. 10.

Рис.10

Проекции ускорения a_x= =0, a_y= =-8 см∙с^-2. Так как проекция вектора ускорения на ось x равна нулю, а на ось y – отрица­тельна, то вектор ускорения на­правлен верти­кально вниз, и величина его постоянна, не за­висит от времени.

Определение ускорения при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорение точки

При естественном способе задания движения вектор определяют по его проекциям на оси Mτnb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис.11). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника (или скоростными (естественными) осями), направлены следующим образом: осьMτ - вдоль каса­тельной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось Mn - по нормали, лежащей в соприкасающейся плос­кости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль Mn, лежащая в соприкасающейся плоскости(вплоскости самой кривой, если кривая плоская), называетсяглавной нормалью, а перпендикулярная к ней нормальMb - бинормалью.

Рис.11

Было показано, что ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости Mτn; следовательно, проекция вектора на бинормаль равна нулю (a=0).

Вычислим проекции , на две другие оси. Пусть в моментвремени t точка находится в положении М и имеет скорость v, a в момент t₁=t+∆tприходит в положение М ₁ и имеет скорость v₁.

Тогда по определению

Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси Mτ и Mn, проведенные в точке М (рис.11). Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим:

Учитывая, что проекция вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку М ₁ оси , параллельные Mτ, Mn, и обозначим угол между направлением вектора и касательной Mτ через ∆φ. Этот угол между касательными к кривой в точках М и М ₁ называется углом смежности.

Напомним, что предел отношения угла смежности ∆φ к длине дуги MM₁=∆s определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же являетсявеличиной, обратной радиусу кривизны ρ в точке М. Таким образом,

Обращаясь теперь к чертежу (рис.9), находим, что проекции векторов и на оси Mτ, Mn, будут равны:

где v и v₁ - численные величины скорости точки в моменты t и t₁.

Следовательно,

Заметим что при ∆t→0 точка М₁ неограниченно приближается к М и одновременно

Тогда, учитывая, что в пределе , получим для a_τ выражение

Правую часть выражения a_n преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на ∆φ∆s. Тогда будем иметь

так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при ∆t→0 равны:

Окончательно получаем:

Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на каса­тельную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s no времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинор­маль равна нулю (a_b=0). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинема­тики точки.

Рис.12

Отложим вдоль касатель­ной Mτ и главной нормали Mn векторы и , чис­ленно равные a_τ и a_n (рис. 12). Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая бу­дет всегда направлена в сторону вогнутости кривой (величина a всегда положительна), а составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси Mτ в зависимости от знака проек­ции a_τ (см. рис.12, а и б).

Вектор ускорения точки изображается диагональю параллело­грамма, построенного на составляющих и . Так как эти состав­ляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю:

8) Скорости и ускорения различных точек вращающегося тела.
Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.

1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис.9). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt проис­ходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hdφ. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отно­шению ds к dt, т.е

Скорость в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстоя­ние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Так как для всех точек тела имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.

Рис.11 Рис. 12

2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами

В нашем случае ρ=h. Подставляя значение v в выражения a_τ и a_n, получим:

или окончательно:

Касательная составляющая ускорения a_τ направлена по каса­тельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра­щении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая a_n всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис.12). Полное ускорение точки М будет

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле

Подставляя сюда зна­чения a_τ и a_n, получаем

Так как ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окруж­ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14.

Рис.13 Рис.14

3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М (рис. 13). Тогда h=r∙sinα и по формуле

Таким образом, модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М. Направления векторов и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерно­сти их одинаковы. Следовательно, - формула Эйлера, т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.

9) Простейшие движения твердого тела. Поступательные и вращательные движения.
Твердым телом в кинематике называют всякую совокупность точек, неизменно связанных между собой. Эта совокупность может содержать все точки некоторой геометрической фигуры (линии, поверхности или объема), в предположении, что фигура эта не изменяет своей формы. Можно также понимать под указанной совокупностью точек все пространство. При этом все физические свойства твердых тел, встречающихся в природе, в частности, непроницаемость, исключаются: идеальные твердые тела, как они рассматриваются в кинематике, могут проникать друг в друга. Мы не обращаем при этом внимания на их внешнюю форму и из всех свойств твердого тела удерживаем только одно: все точки одного и того же твердого тела могут совершать только перемещения всей совокупности в целом (deplacements densemble), при которых все расстояния между точками сохраняются неизменными.

Если закрепить две точки твердого тела, то оно сможет только вращаться вокруг прямой, проходящей через эти точки: эта прямая есть ось вращения тела. Если закрепить третью точку, взятую вне указанной прямой, то все тело окажется закрепленным. Таким образом, положение твердого тела определяется положениями трех его точек, не лежащих на одной прямой.

52. Перемещения твердого тела. — Если твердое тело переходит из некоторого положения (А) в другое положение (В), то оно испытывает при этом перемещение

совокупности, которое и называют перемещением твердого тела. Каждая из точек тела совершает при этом свое собственное перемещение. Так как положение твердого тела определяется положениями трех его точек, не лежащих на сдной прямой, то ясно, что и перемещение твердого тела будет известно, если известны перемещения трех его точек, не лежащих на одной прямой.

Если твердое тело двумя последовательными перемещениями переводится соответственно сначала из (А) в (В), потом из (В) в (С), то в результате оно получит полное перемещение, переводящее его из (А) в (С). Это выражают, говоря, что перемещения твердого тела образуют группу.

Если всем точкам системы задать геометрически равные перемещения, то точки останутся на одних и тех же расстояниях между собой. Такое движение есть, следовательно, не что иное, как перемещение твердого тела (deplacement d’ensemble d’un solide). Перемещение твердого тела, при котором перемещения всех точек тела геометрически равны, называется поступательным перемещением (translation). Мы знаем, что перемещение твердого тела определяется перемещениями трех его точек, не лежащих на одной прямой. Поэтому, если три точки твердого тела, на лежащие на одной пр.мой, получают геометрически равные перемещения, то перемещение твердого тела будет поступательным.

Если два последовательных перемещения твердого тела поступательные, то полные перемещения всех точек тела, равные геометрической сумме составляющих перемещений, будут геометрически равны между собой. Два последовательных поступательных перемещения дадут поэтому тоже поступательное перемещение. Таким образом, перемещения твердого тела, принадлежащие к частному виду поступательных перемещений, сами по себе образуют группу (подгруппу предшествующей группы).

Если при перемещении твердого тела две его точки закреплены, то тело повернется на определенный угол вокруг оси, проходящей через закрепленные точки. Такое перемещение называется вращением.

Можно доказать, и мы вернемся к этому далее, что всякое перемещение твердого тела представляет собой комбинацию поступательного перемещения и вращения. Сначала, однако, следует изучить распределение скоростей в различных точках твердого тела, совершающего непрерывное движение; начнем с определения и изучения двух наиболее простых движений твердого тела.

Поступательным называетсядвижение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению: AB||

Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения точек тела одинаковы.

Доказательство. В любой момент движения выполняется равенство (рис.1):

Откуда следует одинаковость траекторий. Дифференцируя это равенство по времени дважды, установим равенство скоростей и ускорений:

, ,

, .

Теорема доказана.

Для задания поступательного движения твердого тела достаточно задать движение одной из его точек:

- уравнения поступательного движения твердого тела.

Вращательным называется движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Положение тела определено, если задан угол между плоскостями и (рис. 2), одна из которых неподвижна, а другая жестко связана с телом. Для задания вращательного движения необходим закон изменения угла с указанием положительного направления отсчета. − уравнение вращательного движения твердого тела.

С положительным направлением отсчета угла связывают положительное направление оси вращения . Она направлена в ту сторону, откуда положительный отсчет угла виден происходящим против хода часовой стрелки.

Для характеристики изменения угла поворота вводится величина, которая называется угловой скоростью (обозначается ).

Она определяется как предел средней угловой скорости

− алгебраическая угловая скорость.

Вектор угловой скорости − это вектор, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки, с модулем , равным модулю алгебраической угловой скорости

, − единичный вектор оси вращения.

Угловое ускорение − мера изменения угловой скорости (обозначается ).

Она определяется как предел среднего углового ускорения

−

алгебраическое угловое ускорение.

Вектор углового ускорения − производная вектора угловой скорости по времени

.

Если вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости, то вращение тела ускоренное.

Характер вращательного движения

Вращение   ускоренное	Численная величина угловой скорости возрастает	Знаки проекций векторов угловой скорости и ускорения на ось вращения совпадают. или
Вращение     замедленное	Численная величина угловой скорости уменьшается	Знаки проекций векторов угловой скорости и ускорения на ось вращения НЕ совпадают. или
Вращение   равномерное	Численная величина угловой скорости не изменяется

10) Внешние и внутренние силы. Применение метода сечения для определения внутренних сил
Внешние силы

Внешняя сила — это мера взаимодействия между телами. В задачах сопротивления материалов внешние силы считаются всегда заданными. К внешним силам относятся также реакции опор (связей).

Внешние силы делятся на объемные и поверхностные. Объемные силы при­ложены к каждой частице тела по всему его объему. Примером объемных сил являются силы веса и силы инерции. Часто задают простой закон изменения этих сил по объему. Объемные силы определяются их интенсивностью, как предел отношения равнодействующей сил в рассматриваемом элементарном объеме к величине этого объема, стремящего к нулю:lim V 0 F V и измеряются в Н/м³.

Поверхностные силы делятся на сосредоточенные и распределенные.
Сосре­доточенными считаются силы, приложенные к малой поверхности, размеры которой малы по сравнению с размерами тела. Однако при расчете напряжений вблизи зоны приложения силы нагрузку следует считать распределенной. К сосредоточенным нагрузкам относят не только сосредоточенные силы, но и пары сил, примером которых можно счи­тать нагрузку, создаваемую гаечным ключом при закручивании гайки. Сосредоточенные усилия измеряются в кН.
Распределенные нагрузки бывают распределенными по длине и по площади. К распределенным нагрузкам относят давление жидкости, газа или другого тела. Распределенные силы измеряются, как правило, в кН/м (распределенные по длине) и кН/м² (распределенные по площади).

Все внешние нагрузки можно разделить на статические и динамические.
Статическими считаются нагрузки, в процессе приложения которых возникающие силы инерции малы и ими можно пренебречь.
Если силы инерции велики (к примеру – землетрясение) – нагрузки считаются динамическими. Примерами таких нагрузок также могут служить внезапно приложенные нагрузки, ударные и повторно-переменные.
Внезапно приложенные нагрузки передаются на сооружение сразу
полной своей величиной (к примеру давление колес локомотива, входящего на мост).
Ударные нагрузки возникают при быстром изменении скорости соприкасающихся элементов конструкции, например» при ударе бабы копра о сваю при ее забивке.
Повторно-переменные нагрузки действуют на элементы конструкции, повторяясь значительное число раз. Таковы, например, повторные давления пара, попеременно растягивающие и сжимающие шток поршня и шатун паровой машины. Во многих случаях нагрузка представляет собой комбинацию нескольких видов динамических воздействий.

Дата добавления: 2015-06-04