Кинетическая энергия системы

Кинетические моменты.Теоремы об изминении кинетических моментов точки и системы.

Теорема о движении центра масс мех. системы.

Рассмотрим движущуюся систему мат. точек М₁, М₂, М_i, M_n, находящихся под действием внешних и внутренних сил (рис). Положение центра масс системы С определяется равенством

r_c = ∑m_ir_i/m. Уравнения движения точек этой системы имеют вид

m_i d²r_i/dt² = P_i^E + P_i^J; (i = 1, 2, …, n), суммируем эти уравнения:

∑m_i d²r_i/dt² =∑ P_i^E + ∑ P_i^J (а). Преобразуем левую часть равенства, учитывая (r_c = ∑m_ir_i/m) получаем: ∑m_i d²r_i/dt² = d²/dt² * ∑m_i r_i = d²/dt² * (mr_c) = md²r_c/dt². Геометрическая сумма внутренних сил равна 0. Уравнение (а) приобретает вид: md²r_c/dt² = ∑P_i^E = R^E или

ma_C = ∑ P_i^E = R^E (в). т.е. произведение массы системы на ускорение её центра масс = геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или главному вектору этих сил. Уравнение (в) выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом: Центр масс мех. сис. движется как мат. точ. массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы действующие на систему.

Проецируя на оси x, y, z – mx_C = ∑ X_i^E = X^E

Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная арифметиче­ской сумме кинетических энергий всех точек системы

Кинетическая энергия является характеристикой и поступатель­ного и вращательного движения системы, поэтому теоремой об изме­нении кинетической энергии особенно часто пользуются при решении задач.

Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна, очевидно, сумме кинетических энергий этих тел:

Кинетическая энергия – скалярная и всегда положительная величина.

Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела в разных случаях движения.

1. Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости дви­жения центра масс. То есть, для любой точки

или

Таким образом, кинетическая энергия тела при поступатель­ном движении равна половине произведения массы тела на квад­рат скорости центра масс. От направления движения значение Т не зависит.

2. Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси Оz (см. рис.46), то скорость любой его точки , где - расстояние точки от оси вращения, а w- угло­вая скорость тела. Подставляя это значение и вынося общие множители за скобку, получим:

Величина, стоящая в скобке, представляет собою момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, окончательно найдем:

т. е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости. От направления вращения значение Т не зависит.

Рис.46

При вращении тела вокруг неподвижной точки кинетическая энергия определяется как (рис.47)

или, окончательно,

,

где I_x, I_y, I_z – моменты инерции тела относительно главных осей инерции x ₁, y ₁, z ₁ в неподвижной точке О; , _, – проекции вектора мгновенной угловой скорости на эти оси.

Рис.47

3. Плоскопараллельное движение. При этом движе­нии скорости всех точек тела в каждый момент времени распреде­лены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через мгновенный центр ско­ростей Р (рис.46). Следовательно

,

где - момент инерции тела относительно названной выше оси, w- угловая скорость тела. Величина в формуле будет перемен­ной, так как положение центра Р при движе­нии тела все время меняется. Введем вместо постоянный момент инерции , относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса , где d=PC. Подставим это выражение для . Учитывая, что точка Р - мгновенный центр скоростей, и, следовательно, , где - скорость центра масс С, окончательно найдем:

.

Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетиче­ская энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сло­женной скинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

4) Для самого общего случая движения материальной системы кинетическую энергию помогает вычислить теорема Кенига.

Рассмотрим движение материальной системы как сумму двух движений (рис.48). Переносного – поступательного движения вместе с центром масс С и относительного – движения относительно поступательно движущихся вместе с центром масс осей x ₁, y ₁, z _1. Тогда скорость точек . Но переносное движение – поступательное. Поэтому переносные скорости всех точек равны, равны . Значит, и кинетическая энергия будет

Рис.48

По определению центра масс его радиус-вектор в подвижной системе (центр масс находится в начале координат), значит, и . Производная по времени от этой суммы также равна нулю:

.

Поэтому, окончательно, кинетическая энергия системы

(1)

Кинетическая энергия материальной системы равна сумме кинетической энергии при поступательном движении вместе с центром масс и кинетической энергии ее при движении относительно координатных осей, поступательно движущихся вместе с центром масс.

В общем случае движения тела, которое можно рассматривать как сумму двух движений (переносного – поступательного вместе с центром масс С и относительного – вращения вокруг точки С), по теореме Кенига (1) получим

или ,

где I_x, I_y, I_z – главные центральные оси инерции тела.

31.Законы сохранения кинетических моментов.Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг своей оси..
2.3. Закон сохранения кинетического момента системы относительно неподвижной точки

Формулировка закона: если при движении системы сумма моментов внешних сил относительно неподвижной оси равна нулю, то кине­тический момент системы относительно этой оси есть величина пос­тоян­ная, т. е. если

, то , (2.5)

где и – кинетические моменты в 1-м и 2-м положениях системы.

Используя условие (2.5), можно решать задачи по определению начальных или конечных скоростей тел системы, определять законы изменения этих скоростей.

Рассмотрим методику решения подобных задач:

– изображаем систему в произвольный момент времени, показывая все внешние силы; убеждаемся, что сумма моментов внешних силотносительно неподвижной оси равна нулю, т. е. таким образом:

– изображаем систему в первом положении и находим ;

– изображаем систему во втором положении и находим ;

– используем равенство (2.5), составляем уравнение, из которого находим искомую величину. Задача 2.2 (10). Диск весом радиусом вращается вокруг оси (рис. 2.5), момент инерции диска задан. По радиусу к центру диска движется с постоянной относительной скоростью точка весом . Определить закон изменения угловой скорости диска, если в начальный момент точка находилась на ободе диска, а угловая скорость диска равна . Решение Внешние силы и не дают момента относительно оси , поэтому .

Кинетический момент системы относительно оси в начальном и произвольном положениях определяется с применением формул (2.2), (2.3):

,

,

где – путь, пройденный точкой за время (рис. 2.5).

Подставляя затем и в равенство (2.5), получим

.

Отсюда

.

Дата добавления: 2015-06-04