Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Дифференциальное уравнение имеет вид:

, (2.6)

где – угловое ускорение тела.

Уравнение (2.6) получается из уравнения (2.4) теоремы путём подстановки в него формулы (2.3).

Интегрируя уравнение (2.6), можно определить закон вращения тела. Методика решения подобных задач:

– изображаем тело в произвольном положении; показываем внешние силы, действующие на тело; показываем ось , направленную по оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против часовой стрелки;

– находим сумму моментов внешних сил относительно оси ;

– вычисляем, если не задан, момент инерции тела ;

– составляем уравнение (2.6), интегрируя это уравнение, определяем закон вращения тела.

Задача 2.3 (12). Однородный шар радиусом , весом прикреплен к нижнему концу упругой проволоки, верхний конец которой неподвижен (рис. 2.6). Проволоку вместе с шаром закручивают вокруг оси на угол , а затем предоставляют возможность свободно раскручиваться. Момент сил упругости, возникающий при закручивании проволоки, изменяется по закону , где – постоянный коэффициент; – угол закручивания проволоки. Определить закон крутильных колебаний шара , пренебрегая сопротивлением воздуха. Решение Расчетная схема дана на рис. 2.6. Внешние силы: – вес шара; – реакция проволоки; – момент сил упругости проволоки. Определяем сумму моментов внешних сил относительно оси . Момент инерции массы шара относительно оси вычисляется по известной формуле . Составляем уравнение (2.6) и приводим его к виду: ,

где .

Полученное уравнение – дифференциальное уравнение типа формулы (4) приложения. Его решение запишется в виде:

. (б)

Дополнительно запишем:

. (в)

Используя заданные начальные условия , из уравнений (б) и (в) получим

.

Тогда уравнение (б) примет вид:

– это искомый закон крутильных колебаний шара.

Дата добавления: 2015-06-04