Явление дифракции. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция от щели и решетки

Дифракцией называется отклонение света от прямолинейного распространения, огибание волнами препятствий. Дифракция заметна, если размеры препятствий сравнимы с длиной волны. Дифракция света всегда сопровождается интерференцией - чередованием светлых и темных мест для монохроматического света и цветных (все цвета радуги) - для белого света. Дифракция объясняется на основе принципа Гюйгенса-Френеля: каждая точка, до которой дошло возмущение, сама становится источником вторичных волн; вторичные волны когерентны; волновая поверхность в любой момент времени является результатом интерференции вторичных волн.

Различают два частных случая дифракции. Дифракцией Френеля называют дифракцию в сходящихся и расходящихся пучках. Дифракция Фраунгофера наблюдается в параллельных лучах. Условие параллельности падающих и дифрагированных лучей можно выполнить, помещая источник света и экран, на котором наблюдается картина дифракции, на большом удалении от препятствия, либо используя линзу, которая может преобразовать расходящийся пучок света в параллельный.

В 1690 г. Гюйгенсом был предложен способ находить положение волнового фронта1 в последующие моменты времени по его положению в данный момент.

Этот способ известен как принцип Гюйгенса и может быть сформулирован следующим образом: каждую точку волнового фронта можно рассматривать как источник вторичных элементарных сферических волн, распространяющихся в переднюю часть полупространства; новое положение волнового фронта совпа­дает с огибающей элементарных волн.

В качестве простого примера применения принципа Гюйгенса рассмотрим волновой фронт АВ на рис. 6. Условимся считать, что среда изотропна, т. е. скорость волн одинакова по всем направлениям. Чтобы найти положение волнового фронта спустя короткий промежуток времени D t после того, как он занимал положение АВ, проведем окруж­ности радиусом . Центры этих окружностей лежат на исходном волновом фронте АВ, а сами окружности представляют собой элементарные волны Гюйгенса. Огибающая этих элементарных волн - линия CD – определяет новое положение волнового фронта. На рис.6 в показано искривление волнового фронта при прохождении волны с плоским фронтом через малое отверстие. В результате дифракции волна заходит в область геометрической тени.

Принцип Гюйгенса позволяет лишь качественно изобразить картину дифракции. Френель дополнил принцип Гюйгенса положением о когерентности вторичных волн. Он предложил учитывать также мощность излучения вторичных источников. Принципом Гюйгенса-Френеля называют совокупность следующих утверждений.

1. Любой реальный источник света S ₀ можно заменить системой фиктивных вторичных источников и возбуждаемых ими вторичных волн. В качестве этих источников можно выбрать малые участки волновой поверхности, охватывающей источник.

2. Вторичные источники, эквивалентные одному и тому же источнику S₀, когерентны.

3. Мощности равных по площади вторичных источников, расположенных на волновой поверхности, одинаковы.

4. Каждый вторичный источник излучает свет преимущественно в направлении внешней нормали к поверхности. Амплитуды вторичных волн в других направлениях тем меньше, чем больше угол между нормалью и данным направлением, и равны нулю при угле, равном p/2.

Для упрощения расчета картин дифракции Френелем был предложен метод зон. Сущность метода зон Френеля рассмотрим на примере определения амплитуды электрического поля сферической волны, возбуждаемой точечным источником S₀ (рис. 7). Френель предложил разбивать сферическую волновую поверхность на кольцевые зоны так, чтобы расстояния от краев каждой зоны до точки наблюдения Р отличались на половину длины волны (напомним, что на волновой поверхности колебания происходят в одинаковой фазе). При таком разбиении каждому малому участку одной зоны найдется соответствующий участок соседней зоны, расстояния которых до точки наблюдения будут отличаться на l/2, и волны от этих участков будут приходить в точку наблюдения в противофазе и ослаблять друг друга. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые в точке Р соседними зонами, будут противофазными, т.е. отличаться на p. Несложный расчет позволяет найти выражения для радиусов зон Френеля в зависимости от длины волны l, радиуса волновой поверхности а и расстояния b от волновой поверхности до точки наблюдения (рис. 7):

, (3)

где m – номер зоны Френеля.

Изменение фазы на противоположную можно представить как изменение знака амплитуды на противоположный, поэтому если амплитуду волны, пришедшей в Р от первой зоны Френеля, обозначить через Е₁, то амплитуде волны, пришедшей от второй зоны, нужно приписать знак минус и обозначить ее как – Е₂. Знак амплитуды волны от третьей зоны нужно снова сменить на противоположный. Таким образом, амплитуда результирующей волны в точке Р может быть найдена как алгебраическая сумма амплитуд волн от всех зон Френеля:

(4)

Как показывает расчет, площади построенных таким образом кольцевых зон примерно одинаковы. Однако из-за увеличения угла между нормалью к участкам поверхности зон и направлением на точку наблюдения абсолютные значения амплитуд монотонно уменьшаются с возрастанием номера зоны: Если записать предыдущее выражение в виде:

, (5)
то, считая, что выражения в скобках равны нулю, а число зон велико, получим, что результирующая амплитуда волны в точке наблюдения равна половине амплитуды волны от первой зоны:

.

Отсюда следует кажущийся парадоксальным вывод: если на пути света поставить экран Э с малым отверстием, открывающим только первую зону, то амплитуда волны в точке наблюдения возрастет в 2 раза, а интенсивность - в четыре1. Если отверстие в экране Э открывает две зоны, то в точке наблюдения произойдет наложение в противофазе волн от первой и второй зон и амплитуда будет очень малой. Таким образом, при дифракции Френеля на круглом отверстии в центре геометрической тени будет максимум или минимум в зависимости от числа открываемых этим отверстием зон Френеля (рис. 8).

Если на пути света поставить кольцевой экран, который закрывал бы четные зоны Френеля (на рис. 7 они заштрихованы), то амплитуда результирующей волны в точке Р резко возрастет. Действительно, в этом случае амплитуды от четных зон будут равны нулю, выбрасывая их из формулы (4), получаем: . Такой экран называют зонной пластинкой.

Если на пути луча света поставить непрозрачный диск, закрывающий не очень большое целое число зон Френеля, то в центре геометрической тени всегда будет максимум - светлое пятно, независимо от того, какое число зон закрыто - четное или нечетное. Действительно, если записать для данного случая результирующую амплитуду в т. Р (рис.7) в виде, аналогичном формуле (8), начиная с амплитуды m -ной зоны, получим: . На рис. 9 представлена тень от малого диска, осве­щаемого лазером. В центре наблюдается светлое пятно (пятно Пуассона). Видно также, что за пределами геометрической тени наблюдаются светлые и темные кольца. Это также результат дифракции на различных участках диска.

Отметим, что описываемые выше явления наблюдаются только при выполнении некоторых условий: свет должен быть монохроматическим; центр отверстия (диска) должен находиться на прямой, соединяющей источник с точкой наблюдения; края преграды должны быть гладкими (царапины должны быть меньше ширины ближайшей открытой зоны). Для выполнения последнего условия на отверстии (диске) должно укладываться небольшое число зон Френеля, так как ширина кольцевой зоны уменьшается с увеличением ее номера.

Метод зон позволил Френелю объяснить в рамках волновой теории прямолинейное распространение света. Как следует из формулы (3), размер первой зоны Френеля тем меньше, чем меньше длина волны. При а=b= 1 м и l=0,5 мкм радиус первой зоны равен 0,5 мм. Для того чтобы размещение на пути света экрана с отверстием не изменяло бы интенсивность в точке наблюдения, размер отверстия должен быть меньше размера первой зоны. В этом случае свет от источника в точку наблюдения распространяется как бы в пределах очень узкого канала, т.е. практически прямолинейно

Рис. 5.7

Пусть на щель шириной b нормально падает параллельный пучок света (рис. 5.7), имеющий плоскую волновую поверхность. Для определения результирующей амплитуды пучка, распространяющегося за щелью, будем разбивать открытую часть волновой поверхности, расположенной в плоскости щели на ряд параллельных полосок - зон. При угле дифракции j =0 волны от всех зон будут распространяться в одинаковой фазе, поэтому при j =0 наблюдается максимум. При некотором другом угле дифракции j, таком, что волновую поверхность можно будет разбить на две зоны так, что разность хода волн от краев (левых на рис. 5.7) соседних зон D будет равна l/2, волны от этих зон будут взаимно гасить друг друга и при данном угле дифракции будет минимум. Значение угла j найдем из треугольника АВС: ВС/АВ= sin j или: . Отсюда получим условие первого минимума: b sin j=l. При значении угла дифракции, определяемом соотношением: , волновую поверхность можно разбить на три одинаковых по ширине зоны, так что разность хода от краев соседних зон будет равна l/2. При этом волны от двух зон полностью погасят друг друга, а волна от третьей зоны будет не погашена и даст небольшой максимум. Нетрудно получить условие этого максимума: b sin j=3(l/2).

Таким образом, при увеличении угла дифракции можно последовательно разбивать площадь щели на четное и нечетное число зон. Общее условие максимумов (кроме нулевого) при дифракции от щели имеет вид:

, (5.3)

а условие минимумов:

, (5.4)

Рис. 5.8

где m = ±1, ±2, ±3... Распределение интенсивности при дифракции от щели в зависимости от синуса угла дифракции показано на рис. 5.8.

Дифракционной решеткой называют совокупность большого числа щелей, расположенных на равных расстояниях друг от друга, разделенных непрозрачными промежутками (рис. 5.9). Каждая щель является источником когерентных вторичных волн. Значения углов, определяющих направления на дифракционные максимумы спектра, получаемого с помощью решетки, находятся из соотношения: , (5.5)

Рис. 5.9

, j - угол дифракции, -период дифракционной решетки (расстояние между центрами соседних щелей), - число щелей, приходящихся на единицу длины решетки.

Дифракционная решетка раз­лагает белый свет в спектр. С ее помощью можно производить очень точные измерения длины волны

1 волновой фронт – это поверхность, разделяющая области пространства, до которых еще не дошло волновое возбуждение, от областей, вовлеченных в волновой процесс. Волновая поверхность – геометрическое место точек, колебания в которых происходят в одной фазе. По сути, волновой фронт – это самая первая волновая поверхность.

1 Ограничение светового пучка малым отверстием приведет к затемнению плоскости, в которой находится т. Р. Увеличение амплитуды происходит лишь в т. Р и в малой области вблизи нее.

Дата добавления: 2015-06-04