Пример математической модели

Основные понятия теории массового обслуживания. Графы состояний, уравнения Колмогорова, Эрланга. Типы задач машиностроения, решаемые с использованием теории массового обслуживания.

Задачи о движении снаряда

Пример математической модели

Задача

Производственное объединение, в которое входят две мебельные фабрики, нуждается в обновлении парка станков. Причем первой мебельной фабрике нужно заменить три станка, а второй-семь. Заказы можно разместить на двух станкостроительных заводах. Первый завод может изготовить не более 6 станков, а второй завод примет заказ если их будет не мение трех. Требуется определить как размещать заказы.

Решение

Введем переменные: xij-количество станков, которое будет изготавливать i-й завод для j-й фабрики.

По условию задачи:

x11+x126

x21+x223

Кроме того, должны выполняться условия:

x11+x21=3

x12+x22=7

Получаем систему ограничений в форме неравенств и уравнений:

x11+x21=3

x12+x22=7

x11+x126

x21+x223

xij0; i=1,2; j=1,2;

Мы составили математическую модель нашей задачи. Решая систему мы найдем множество различных решений. Вот одно из них:

x11 = 2,

x12 = 3,

x21 = 1,

x22 = 4.

Оптимальное решение будет зависить от других параметров, отдаленности заводов, цены на станки и т.д.

Таким образом, моделирование может значительно облегчить процесс изучения какого-либо объекта.

Задача о радиоактивном распаде.

Транспортная задача.

Разработкой математических моделей, получением число-вых результатов и анализом показателей эффективности занимается теория массового обслуживания (ТМО). Методы ТМО основаны на расчетах,

основанных на случайных процессах, в частности, на процессах

гибели и размножения.

Теория массового обслуживания занимается изучением процессов, связанных с массовым обслуживанием, разработкой методов решения типичных задач массового обслуживания.

Проводя рассуждения аналогичным образом для всех других состояний системы, получим систему дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями А.Н. Колмогорова:

Для составления уравнений Колмогорова существуют общие правила.

Уравнения Колмогорова позволяют вычислить все вероятности состояний СМО Si в функции времени pi(t). В теории случайных процессов показано, что если число состояний системы конечно, а из каждого из них можно перейти в любое другое состояние, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний, которые показывают на среднюю относительную величину времени пребывания системы, в этом состоянии. Если предельная вероятность состояния S0 - равна p0 = 0,2, то, следовательно, в среднем 20% времени, или 1/5 рабочего времени, система находится в состоянии So. Например, при отсутствии заявок на обслуживание к = 0, р0 = 0,2,; следовательно, в среднем 2 ч в день система находится в состоянии So и простаивает, если продолжительность рабочего дня составляет 10 ч.

Так называется широкий класс случайных процессов, происходящих в системе, размеченный граф состояний которой изображен на рис.

Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Формула Эрланга

Под системой массового обслуживания (СМО) будем понимать ком-плекс, состоящий: а) из случайного входящего потока требований (событий), нуждающихся в обслуживании; б) дисциплины очереди; в) механизма, осуще-ствляющего обслуживание

Задача

Производственное объединение, в которое входят две мебельные фабрики, нуждается в обновлении парка станков. Причем первой мебельной фабрике нужно заменить три станка, а второй-семь. Заказы можно разместить на двух станкостроительных заводах. Первый завод может изготовить не более 6 станков, а второй завод примет заказ если их будет не мение трех. Требуется определить как размещать заказы.

Решение

Введем переменные: xij-количество станков, которое будет изготавливать i-й завод для j-й фабрики.

По условию задачи:

x11+x126

x21+x223

Кроме того, должны выполняться условия:

x11+x21=3

x12+x22=7

Получаем систему ограничений в форме неравенств и уравнений:

x11+x21=3

x12+x22=7

x11+x126

x21+x223

xij0; i=1,2; j=1,2;

Мы составили математическую модель нашей задачи. Решая систему мы найдем множество различных решений. Вот одно из них:

x11 = 2,

x12 = 3,

x21 = 1,

x22 = 4.

Оптимальное решение будет зависить от других параметров, отдаленности заводов, цены на станки и т.д.

Таким образом, моделирование может значительно облегчить процесс изучения какого-либо объекта.

Задача о радиоактивном распаде.

Транспортная задача.

Дата добавления: 2015-06-04