Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Уравнение Я. Бернулли

Уравнение вида

, , , (4.15)

называется уравнением Бернулли. Покажем, что его можно привести к линейному.

Если , то ДУ (4.15) - линейное ДУ, а при п = 1 - ДУ с разделяющимися переменными.

В общем случае, разделив уравнение (4.15) на , получим:

. (4.16)

Обозначим . Тогда . Отсюда находим .

Уравнение (4.16) принимает вид .

Последнее уравнение является линейным относительно z. Решение его известно. Таким образом, подстановка сводит уравнение (4.15) к линейному. На практике ДУ (4.15) удобнее искать методом И. Бернулли в виде (не сводя его к линейному).

Уравнение

P{x;y)·dx + Q(x;y)·dy = 0 (4.17)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции и(х;у), т. е.

P(x;y)·dx + Q(x;y)·dy = du(x;y).

В этом случае ДУ (4.17) можно записать в виде du(x;y) = 0, а его общий интеграл будет:

и(х;у) = с. (4.18)

Приведем условие, по которому можно судить, что выражение

есть полный дифференциал.

Теорема 4.2. Для того чтобы выражение , где функции и и их частные производные и непрерывны в некоторой области D плоскости 0ху, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия

. (4.19)

Дата добавления: 2015-06-04