Метод Зон Френеля. Дифракция на круглом отверстии

В некоторых случаях интегрирование (6.2) может быть заменено простым алгебраическим или графическим сложением по методу зон Френеля. Для этого вырезанную отверстием волновую поверхность S разбивают на зоны, конфигурация которых зависит от симметрии рассматриваемой задачи.

Рис. 6.3 Дифракция Френеля на круглом отверстии.

Определим амплитуду световых колебаний в т. Р за круглым отверстием на его оси (рис.6.3). Волновая поверхность S, вырезанная отверстием, симметрична относительно прямой Р ₀ Р, поэтому ее разбиваем на кольцевые зоны с центром на оси отверстия. Зоны выбираем так, чтобы расстояния от краев каждой зоны до т. Р отличались друг от друга на половину длины волны , для того что бы фазы приходящих от соседних зон колебаний отличались на .

Найдем внешний радиус -ой зоны Френеля. Из рис.6.3 видно, что

(6.3)

(6.4)

(6.5)

Раскрывая скобки и пренебрегая малыми членами , , , выражения (6.4), (6.5) принимают следующий вид

.

С учётом выражения (6.3) получаем, что внешний радиус m -ой зоны Френеля определяется формулой

. (6.6)

Если падающая нормально на данное отверстие волна плоская (), то (6.6) примет вид

. (6.7)

Площади зон (при достаточно малых m) почти одинаковы

, (6.8)

но амплитуды колебаний, приходящих в т. P от этих зон монотонно убывают из-за увеличения расстояния r от каждой следующей зоны до т. P и роста угла между нормалью к элементам зоны и направлением на т. P.

Так как фазы колебаний, возбуждаемых в т. Р соседними зонами Френеля, отличаются на , векторы-амплитуды соседних зон противоположны по направлению, а результирующая амплитуда от всех зон зависит от того чётное или нечётное число зон открыто отверстием. Если число зон нечетное, в т. Р наблюдается максимум, если же число зон четное, то – минимум.

Рис. 6.4 Спираль Френеля.

Для расчёта амплитуды в т. P используем графический метод сложения амплитуд. Для этого мысленно разобьём волновой фронт на элементарные кольцевые зоны (гораздо более узкие, чем зоны Френеля). Колебание каждой последующей зоны отстаёт по фазе и чуть меньше по амплитуде от колебания, исходящего от предыдущей зоны, поэтому векторная диаграмма будет иметь вид цепочки, закрученной в спираль – спираль Френеля (рис. 6.4). Пусть – вектор амплитуды результирующего колебания в т. P. Начало этого вектора лежит в точке 0. В зависимости от числа открытых отверстием элементарных зон, конец этого вектора может лежать в любой точке спирали. Если конец вектора лежит в точке 0.5, то открыта половина первой зоны Френеля (), если в точке 1, то открыта только первая зона Френеля (), если в т. 2, то открыты только две первые зоны () и т.д. Если конец вектора лежит в т. F (фокус спирали), то будет вектором амплитуды колебания, приходящего от всех зон (всей волновой поверхности).

Как видно из рисунка, амплитуда колебаний и интенсивность света в т. P по мере увеличения радиуса изменяется не монотонно. Пока открывается первая зона Френеля, амплитуда в т. Р увеличивается и достигает максимума при полностью открытой первой зоне (). Но по мере открывания второй зоны Френеля амплитуда колебаний в т. Р убывает, и при полностью открытых двух первых зонах уменьшается почти до нуля (). Затем амплитуда увеличивается снова и т. д. То же самое будет наблюдаться, если вместо увеличения отверстия приближать к нему т. Р.

Из векторной диаграммы видно, что , т. е. в отсутствие преграды интенсивность света в т. P в четыре раза меньше, чем при наличии преграды с круглым отверстием, открывающем только первую зону Френеля. При отверстии, открывающем для т. Р две зоны Френеля, интенсивность в этой точке падает практически до нуля, хотя световой поток через отверстие оказывается вдвое больше.

Дата добавления: 2015-06-04