Вычисление координат приведенного центра тяжести сечения

Условие задания

Варианты и исходные данные домашнего задания № 6

Опора станка состоит из чугунного полуцилиндра (рис. 6.1, а), подкреплённого стальным прокатным уголком (рис. 6.1, б). Компоновка сечения стержня осуществляется путём сопряжения характерных точек фигур (0, 1,…, 9 для полукруга и 1, 2, 3 для уголка) после их поворота на углы и , как показано на рис. 6.1. Полученный составной неоднородный стержень сжимается силой F, приложенной в точке, наиболее удалённой от центра тяжести сечения.

а)	б)

Рис.6.1. Составные части профиля и их ориентация: а – полукруг диаметром d;

б – неравнобокий прокатный уголок

Вариант задания определяется шифром, т. е. двумя последними цифрами зачётной книжки студента. Исходные числовые данные принимаются из табл. 6.1. Модули упругости конструкционных материалов считать независимыми от марок чугуна и стали и принимать для всех вариантов: ­– для чугуна; ­– для стали.

Для заданного варианта внецентренно сжатого стержня, составленного из элементов с различными упругими и прочностными характеристиками, определить допускаемое значение силы F, приложенной в точке, наиболее удаленной от центра тяжести сечения.

Таблица 6.1

Геометрические и прочностные параметры стержня

Цифры шифра	Диаметр d, мм	Угол α, гр.	№ уголка	Угол β, гр.	Точки сопряжения	Допускаемые напряжения, МПа
полукруга	уголка
			8/6					–100		–100
			9/5,6					–105		–110
			10/6,3					–110		–120
			10/6,5					–115		–130
			11/7					–120		–140
			12,5/8					–125		–150
			14/9					–130		–160
			16/10					–135		–170
			18/11					–140		–180
			20/12,5					–145		–190
	а	б		б

а – первая цифра шифра; б – вторая цифра шифра.

6.3. Пример расчёта и методические указания

6.3.1. Подготовка исходных данных и расчётной схемы

Выписываем из табл. 6.1 исходные числовые данные согласно шифру. В качестве примера рассмотрим следующие данные: ; ; L № 8/5; °; точки сопряжения: 7 – для полукруга; 1 – для уголка; ; ; ; .

Согласно исходным данным поворачиваем полукруг, опирающийся на диаметр (рис. 6.1, а), на угол ° против часовой стрелки (рис. 6.2, а) и неравнобокий уголок, опирающийся на меньшую сторону (рис. 6.1, б), на угол (рис. 6.2. б). Сопряжение повёрнутых элементов сечения в точках 7 и 1_L без наложения фигур невозможно, поэтому осуществляем симметричное преобразование уголка по схеме рис. 6.2, в, где цифрой 1 показано исходное положение (рис. 6.2, б), а цифрами 2 и 3 – положение после симметричного (зеркального) преобразования. Условию рассматриваемого примера удовлетворяет положение 2. Соединив указанные точки элементов, получаем компоновочную схему сечения стержня (рис. 6.2. г).

а)	б)	в)	г)

Рис. 6.2. Компоновка расчётной схемы: а – поворот полукруга на 270°;

б – поворот уголка на 180°; в – симметричное преобразование уголка;

г – сопряжение элементов в характерных точках

Вычисляем и выписываем из таблицы сортамента (табл. 3 приложения) необходимые для дальнейших расчётов геометрические характеристики “простых” фигур. С целью уменьшения числа ошибок рекомендуется располагать полукруг согласно компоновочной схеме, а уголок – в соответствии с таблицей сортамента (рис. 6.3). Необходимо также обратить внимание на взаимную ориентацию полукруга и его центральных осей. Например, формула справедлива для оси, перпендикулярной диаметру, независимо от того, как она обозначена (в рассматриваемом примере это ось X).

мм см; см; ; ; ; .	L № 8/5 мм см; мм см; мм; мм; мм; см; см; ; ; ; .
а)	б)

Рис. 6.3. Геометрические характеристики фигур: а – полукруга;

б –неравнобокого уголка

Вычерчиваем в разрешённом масштабе поперечное сечение стержня на листе формата А4. Чтобы установить масштаб чертежа находим габариты сечения, используя компоновочную схему (рис. 6.2, г) и геометрические параметры фигур (рис. 6.3).

Габарит сечения по ширине: .

Габарит сечения по высоте: .

Габарит формата А4 (с учётом рамки): , .

Вычисляем масштабные коэффициенты:

; .

Выбираем из двух значений наибольшее и округляем его до ближайшего разрешённого. В результате получаем и, следовательно, масштаб чертежа М 1:1. На рис. 6.4 показана окончательная расчётная схема поперечного сечения стержня.

Рис. 6.4. Расчётная схема поперечного сечения стержня М 1:1

Так как мы имеем случай кусочно-постоянных модулей упругости составного стержня, для вычислений координат центра тяжести сечения воспользуемся формулами (6.5). Введём в расчёт редукционные коэффициенты, приняв за основу стальной стержень, обозначенный на рис. 6.4 цифрой 1,

; .

Выбираем произвольным образом правовинтовую вспомогательную систему координат XOY и находим координаты центров тяжестей “простых” фигур (рис. 6.4):

;

;

x _0, ≃6,70 ;

d =9,6 .

Вычисляем редуцированные площади и статические моменты площади:

;

;

.

Находим координаты центра тяжести всей фигуры:

; .

Откладываем в выбранном масштабе отрезки , и проводим центральные оси , , на пересечении которых получаем т. С, являющуюся приведенным центром тяжести всего сечения. Проверяем свойство центральных осей: статические моменты площади должны равняться нулю. Находим расстояние между центральными осями всей фигуры и каждой “простой” фигуры по формулам ; :

; ;

; .

Вычисляем центральные редуцированные статические моменты

;

;

%.

Выполнение рассмотренной проверки не гарантирует правильность нахождение центра тяжести. Для дополнительного визуального контроля необходимо убедится в расположении т. С на прямой , соединяющей центры тяжести фигур. Отклонение от прямой может быть вызвано неправильным определением координат , , нарушением масштаба и другими причинами.

Дата добавления: 2015-06-30