Тема 2.7. Расчёты на прочность при сложном напряжённом состоянии. 2 страница

.

Зная напряжение _, можно определить нормальное и касательное напряжения, действующие по любой площадке, проведенной через точку:

, , (2.7.1.)

следовательно, главное напряже­ние полностью определяет одноосное напряженное со­стояние в точке.

Разновидностью рассмотрен­ного одноосного напряженного состояния является напря­женное состояние, при котором возникает одно главное напряжение . Расчетные формулы (2.7.1.) остаются справедливыми с заменой в них на .

2.7.3. Выделим из элемента конструкции, находящегося в плоском напряженном состоянии, элементарный кубик (рис. 2.7.6. А). Исследуем это напряженное состояние. Проведем сечение, нормаль к которому составляет угол с направлением , и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 2.7.6. Б). Угол считаем положительным, если он отложен от направления до нормали к площадке против часовой стрелки. Тогда, применив принцип независимости действия сил, получим

, . (2.7.2.)

Из формул (2.7.2.):

1) при , ;

2) при , ;

3) при .

Таким образом, главные напряжения имеют наибольшее и наименьшее значения из всех нормальных напряжений, действующих по площадкам, проведённым через данную точку.

наибольшие касательные напряжения возникают на площадке, наклонённой под углом к оси бруса:

;

Кроме того, касательные напряжения, возникающие на взаимно перпендикулярных площадках, равны по абсолютному значению:

,

а векторы касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках должны быть направлены или к ребру, или от ребра. Данное утверждение носит название закона парности касательных напряжений.

2.7.4. Выделим в окрестности точки тела, находящегося в объемном напряженном состоянии, элементарный кубик, по гра­ням которого действуют главные напряжения .

Определим нормальное и касательное напряжения для площадок, параллельных одному из главных напряжений. Из условий равновесия отсеченных такими площадками частей кубика можно установить, что действующие по площадкам напряжения не зависят от того из главных напряжений, параллельно которому проведена площадка. Следовательно, для трехосного напряженного состояния можно определять напряжения, действующие по площад­кам, параллельным одному из главных напряжений, по формулам (2.7.2.), полученным для двухосного напря­женного состояния.

Наибольшее касательное напряжение при трехосном напряженном состоянии

действует по площадке, параллельной , причем нормаль к площадке составляет угол 45° с направлением (рис. 2.7.7.).

2.7.5. Напряженное состояние в точке полностью известно, если известны главные напряжения. Однако при расчетах бруса, как показано ранее, определяют напряжения в поперечных сечениях. При растяжении, сжатии и чистом изгибе в по­перечных сечениях бруса возникают только нормальные на­пряжения, а при кручении только касательные. Очевидно, при совместном действии изгиба и кручения, а также растя­жения и кручения в поперечных сечениях возникают как нормальные, так и касательные напряжения. Нормальные и касательные напряжения возникают во всех точках попе­речного сечения бруса (кроме крайних) также при попереч­ном изгибе. В продольных сечениях бруса при этом нормаль­ных напряжений нет (рис. 2.7.8.).

Зави­симость между главными напряжениями, с одной стороны, нормальными и касательными напряжениями, возникаю­щими в поперечных сечениях бруса, — с другой имеет вид:

, , . (2.7.3.)

2.7.6. Нарушением прочности элемента конструкции считают появление хотя бы в одной его точке пластических деформаций или призна­ков хрупкого разрушения. Напряженное состояние в такой точке считают предельным.

При растяжении, сжатии и чистом изгибе напряженное состояние одноосное. Оно становится предельным, когда на­пряжение в точке достигает предела текучести для пластич­ных материалов или предела прочности для хрупких. При двухосном или трехосном напряженном состоянии в точке могут появиться пластические деформации или признаки хрупкого разрушения и напряженное состояние станет пре­дельным, хотя значение каждого из главных напряжений меньше предела текучести или прочности. При расчете на прочность элемента конструкции необходимо знать, на­сколько напряженное состояние в опасной его точке отлича­ется от предельного.

Точно на этот вопрос можно ответить, если испытать об­разец, изготовленный из данного материала при напряжен­ном состоянии, подобном напряженному состоянию в опас­ной точке рассчитываемого элемента.

Подобными называют напряженные состояния с одинаковым соотношением главных напряжений

Увеличивая при испытании образца пропорционально все главные напряжения, можно заметить, при каком их значении напряженное состояние станет предельным, т. е. в образце появятся пластические деформации или признаки хрупкого разрушения.

Величину, показывающую, во сколько раз следует увеличить главные напряжения, чтобы напряженное состояние стало предельным, называют коэффициентом запаса прочности.

Такой способ оценки напряженного состояния и определения его запаса прочности практически невозможен вслед­ствие сложности испытаний и большого разнообразия воз­можных соотношений главных напряжений. Так как в основ­ном испытания материалов проводят при растяжении и сжа­тии, т.е. при одноосном напряженном состоянии, возникает вопрос, нельзя ли оценить прочность элементов конструк­ций при сложном напряженном состоянии по характеристи­кам прочности, полученным при растяжении или сжатии.

Такая оценка возможна с использованием гипотез пре­дельных напряженных состояний (гипотез прочности).

Гипотезы прочности позволяют заменить сложное напряженное состояние равноопасным одноосным напряженным состоянием, возникающим при растяжении.

Равноопасными называют напряженные состояния, если они пе­реходят в предельные при увеличении их главных напряжений в одинаковое число раз. Иначе говоря, равноопасными называют на­пряженные состояния, для которых равны коэффициенты запаса прочности.

Напряжение одноосного растяжения, равноопасного заданному сложному напряженному состоянию, называют эквивалентным напряжением .

Таким образом, можно определить последовательность выполнения расчета на прочность элемента конструкции при сложном напряженном состоянии: установив положение опасной точки элемента, определить тип на­пряженного состояния и главные напряжения в этой точке, заменить на основе выбранной гипотезы прочности сложное напряженное состояние эквивалентным напряжением растяжения и сопоставить его с предельным напряжением (рис. 2.7.9.), равным пределу теку­чести или прочности при растяжении.

При этом коэффициент запаса прочности элемента конст­рукции

.

Остается выяснить, на основе какого критерия можно считать различные напряженные состояния равноопасны­ми и как определить значение эквивалентного напряжения. Рассмотрим три наиболее широко применяемые на практике гипотезы предельных напряженных состояний, которые часто называют теориями прочности.

Гипотеза максимальных касательных напряжений. Два напряженных состояния считают равноопасными, если для них равны максимальные касательные напряжения.

При ис­пытаниях на растяжение образцов из пластичных материа­лов было замечено, что разрушение происходит по сечению, наклоненному к оси образца под углом 45°. Особенно это за­метно при испытаниях плоских образцов. Так как в этом се­чении возникают при растяжении максимальные касатель­ные напряжения, была высказана гипотеза (предположение) о том, что ответственными за наступление предельного со­стояния материала являются максимальные касательные напряжения.

Следовательно, можно заменить сложное напряженное состояние эквивалентным одноосным растяжением при ус­ловии, что для них равны .

Для сложного напряженного состояния , для эквивалентного растяжения . Приравняв выражения для максимальных касательных напряжений, получим

. (2.7.4.)

Сопоставив полученное эквивалентное напряжение с до­пускаемым напряжением при растяжении, получим условие прочности

. (2.7.5.)

Гипотеза прочности максимальных касательных напряжений хоро­шо подтверждается экспериментально для пластичных материалов, имеющих одинаковые характеристики прочности при растяжении и сжатии.

Недостаток гипотезы в том, что она не учитывает влия­ния на прочность главного напряжения .

Обычно при расчетах брусьев на прочность известны не главные напряжения, а нормальное и касательное напряже­ния в поперечных сечениях. Подставив в формулу (2.7.4.) вы­ражение (2.7.3.) для главных напряжений

.

Энергетическая гипотеза прочности. Два напряженных состояния равноопасны, если для них одинаковы удельные потенциальные энергии формоизменения.

Условие прочности по энергетической гипотезе прочнос­ти принимает вид

. (2.7.6.)

Если известны не главные напряжения, а нормальное и касательное напряжения в поперечном сечении бруса, то, подставив в (2.7.6.) выражения для и из (2.7.5.), получим

. (2.7.7.)

Энергетическая гипотеза прочности хорошо подтверждается экспе­риментально для пластичных материалов, имеющих одинаковые характеристики прочности при растяжении и сжатии.

Заметим, что в отличие от гипотезы прочности наиболь­ших касательных напряжений (2.7.5.) условие прочности, по энергетической гипотезе (2.7.6.), включает все три главные напряжения.

Гипотеза прочности Мора. Гипотезу прочности наиболь­ших касательных напряжений и энергетическую гипотезу прочности широко применяют в расчетной практике для пластичных материалов, но они не учитывают различия со­противления материалов растяжению и сжатию. Для хруп­ких материалов, имеющих существенно различающиеся ха­рактеристики прочности при растяжении и сжатии, расчет по этим гипотезам может привести к заметным погрешнос­тям.

На основе обобщения экспериментов, выполненных при различных типах напряженного состояния, О. Мором пред­ложена гипотеза, учитывающая различие в сопротивлении материалов растяжению и сжатию. Условие прочности, по гипотезе Мора, имеет вид

, (2.7.8.)

где для пластичных материалов, для хрупких материалов, для хрупкопластичных материалов.

Гипотеза Мора хорошо подтверждается экспериментально как для пластичных, так и для хрупких материалов и исполь­зуется в практических расчетах. При одинаковом сопротив­лении материалов растяжению и сжатию и условие прочности по гипотезе Мора совпадает с условием прочности по гипотезе наибольших касательных напряжений.

Для брусьев с известными нормальным и касательным напряжениями в поперечном сечении условие прочности (2.7.8.) с учетом выражений (2.7.3.) для главных напряжений и имеет вид

. (2.7.9.)

2.7.7. Изгиб называется косым, если плоскость действия изгибающего момента, возникающего момента, возникающего в поперечном сечении бруса, не совпадает ни с одной из его главных плоскостей. Различают плоский косой изгиб (рис. 2.6.2.) и пространственный косой изгиб (рис. 2.7.10.).

Как плоский, так и пространственный случаи косого изгиба можно рассматривать как сочетание двух прямых изгибов в главных плоскостях инерции бруса. Все внешние силы и моменты, действующие на брус, следует разложить на составляющие по главным центральным осям его поперечного сечения и построить соответствующие эпюры изгибающих моментов и . При расчётах на прочность будем учитывать только влияние изгибающих моментов, пренебрегая влиянием поперечных сил и .

Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения определяют по формуле

, (2.7.10.)

где и -координаты точки, в которой определяется напряжение. В формуле каждое из слагаемых должно быть подставлено со своим знаком (напряжения растяжения считают положительными). Знаки напряжений целесообразно устанавливать по характеру деформации бруса, а значения изгибающих моментов и координат точки принимать по абсолютной величине, т.е. относить знак ко всему слагаемому в целом.

Для сечений (прямоугольные, двутавровые), имеющих две оси симметрии и точки одновременно наиболее удаленные от обеих главных осей, опасными являются те из угловых точек, в которых знаки напряжений и совпадают, и условие прочности имеет вид

.

Для того, чтобы найти опасную точку поперечного сечения произвольной формы, следует в первую очередь определить положение нулевой линии этого сечения. Уравнение нулевой линии получают из выражения (2.7.10.). приравнивая нулю его правую часть,

.

Наибольшие нормальные напряжения возникают в тех точках поперечного сечения, которые наиболее удалены от нулевой линии, и условие прочности имеет вид

Для бруса из хрупкого материала надо составлять условия прочности и для области растяжения и для области сжатия.

2.7.8. Рассмотрим совместное действие на брус нагрузок, вызывающих его растяжение (сжатие) и изгиб (рис. 2.7.11.). В общем случае нагрузки, вызывающие изгиб бруса, могут действовать в различных продольных плоскостях или в одной плоскости, но не совпадающей с главной плоскостью бруса. В этом случае возникают растяжение (сжатие) и косой изгиб бруса.

В поперечном сечении бруса возникают продольная сила , изгибающие моменты , и поперечные силы , (рис. 2.7.11.).

При сложной нагрузке, действующей на брус, когда по­ложение опасного сечения неочевидно, строят эпюры про­дольной силы и изгибающих моментов. Влиянием на проч­ность бруса поперечных сил и обычно пренебрегают. Если различные внутренние силовые факторы достигают на­ибольшего значения в различных сечениях, расчет бруса на прочность выполняют для всех предположительно опасных сечений.

Напряжение в любой точке сечения бруса определяют на основании принципа независимости действия сил, как ал­гебраическую сумму нормальных напряжений, вызываемых каждым силовым фактором:

. (2.7.11.)

Применение этого принципа допустимо только для бруса большой жесткости, для которого прогибы от изгибающих моментов невелики и можно пренебречь дополнительным из­гибающим моментом, равным произведению растягиваю­щей (сжимающей) силы на прогиб (рис. 2.7.12.).

Опасной точкой бруса, для которой составляют условие прочности, является точка в опасном сечении, наиболее удаленная от нейт­ральной линии.

Положение нейтральной линии определяется уравне­нием, получить которое можно, приравняв нулю выраже­ние (2.7.11.):

. (2.7.12.)

Здесь , — координаты точек нейтральной линии сече­ния.

Уравнение (2.7.12.) составляют для точек, расположенных в первом квадранте сечения, т. е. для точек с положительны­ми координатами. Знаки перед слагаемыми устанавливают с помощью правил определения знаков напряжений при рас­тяжении (сжатии) и изгибе. Согласно уравнению (2.7.12.), нейт­ральная линия не проходит через начало координат (центр тяжести сечения).

Определив положение нейтральной линии сечения, можно построить эпюру нормальных напряжений. На ри­сунке 2.7.13. показаны эпюры напряжений , , и суммарного напряжения .

Так как в любой точке бруса возникает только нормаль­ное напряжение (при условии, что влиянием поперечных сил Q_x и Q_y можно пренебречь), напряженное состояние — одноосное, поэтому условие прочности имеет вид

,

Для брусьев, имеющих в опасном сечении точки, макси­мально удаленные от обеих главных осей инерции (напри­мер, в двутавре, прямоугольнике), опасной является угло­вая точка, в которой суммируются напряжения одного знака от , и Для таких брусьев условие прочности записывают в виде

.

Для брусьев круглого поперечного сечения, изготовлен­ных из пластичных материалов, положение опасной точки не определяют. Расчет на прочность выполняют по формуле

,

где .

Для брусьев, изготовленных из материалов с различным сопротивлением растяжению и сжатию (например, из чугу­на), условие прочности составляют для двух опасных точек: с наибольшими напряжениями растяжения и сжатия.

Растяжение (сжатие) с изгибом возникает в брусе при действии только растягивающей (сжимающей) силы F, не проходящей через центр тяжести сечения. Такой вид дефор­мации бруса называют внецентренным растяжением (сжа­тием) (рис. 2.7.14.).

Применим метод сечений и перенесем растягивающую (сжимающую) силу F в центр тяжести сечения (рис. 2.7.14.).Заметим, что продольная сила N равна F. В соответствии с правилами теоретической механики при параллельном переносе необходимо приложить моменты и где и — координаты точки приложения силы.

Таким образом, внецентренное растяжение (сжатие) есть сочетание обычного (центрального) растяжения (сжатия) и чистого изгиба.

В выражениях для изгибающих моментов отсутствует координата г, следовательно, внутренние силовые факторы во всех сечениях одинаковы и отпадает необходимость в по­строении их эпюр. Для бруса постоянного сечения все попе­речные сечения равноопасны.

Для определения положения опасной точки сечения со­ставляем уравнение нейтральной линии (2.7.12.), которое с уче­том выражений для изгибающих моментов М_х и М_у после сокращения на F принимает вид

. (2.7.13.)

Опасной является точка, наиболее удаленная от нейт­ральной линии сечения, если материал бруса одинаково со­противляется растяжению и сжатию.

Для брусьев, имеющих точки, максимально удаленные от обеих главных осей инерции х, у, положение опасной точ­ки не определяют и условие прочности записывают в виде

.

Для брусьев круглого или кольцевого поперечного сечений положение опасной точки можно не определять. Расчёт на прочность выполняют по формуле

,

где .

2.7.9. Во всех машинах имеются брусья круглого или кольцевого поперечного сечения, нагруженные вращающим и изгибаю­щим моментами. Такие брусья называют валами. На валах устанавливают вращающиеся вместе с валом детали: зубча­тые колеса, шкивы, звездочки и т. д.

В общем случае для определения опасного сечения необ­ходимо построить эпюры крутящего и изгибающих мо­ментов , . Значение крутящего момента на участках вала, как правило, постоянно, поэтому положение опасного сечения определяют по эпюрам изгибающих моментов. Если изгибающие моменты и достигают наибольшего зна­чения в различных сечениях бруса, следует вычислить для этих сечений суммарный изгибающий момент по формуле

.

Опасным является сечение, в котором момент дости­гает наибольшего значения. Влиянием на прочность бруса (вала) поперечных сил и пренебрегают и их эпюры не строят.

Рассмотрим расчет на прочность бруса круглого попереч­ного сечения, нагруженного вращающим и изгибающим мо­ментами. Касательные напряжения от крутящего момента и нормальные напряжения от изгибаю­щих моментов распределяются по сечению по линейному за­кону, достигая наибольшего значения в крайних точках се­чения бруса.Положение опасной точки сече­ния не определяют, так как ее координаты не входят в рас­четные формулы для и . Кроме того, валы, как правило, вращаются и все точки сечения у поверхности бруca равноопасны.

В поперечных сечениях бруса возникают на­пряжения

, . (2.7.14.)

Согласно закону парности касательных напряжений, на плоскостях, параллельных оси бруса, также воз­никают касательные напряжения. Таким образом, в опасной точке возникает плоское напряженное состояние.

Так как напряжённое состояние не одноосное, для расчёта бруса на прочность необходимо использовать одну из гипотез прочности. Обычно валы изготавливают из среднеуглеродистых или легированных сталей, т.е. из пластичных материалов, поэтому их расчёт следует выполнять на основании гипотез прочности максимальных касательных напряжений, энергетической или Мора.

Дата добавления: 2015-06-30