Признак Даламбера

Если существует конечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему: , то если ряд расходится, если ряд сходится, если нужны дополнительные исследования сходимости ряда.

Примеры: 1) сходится, т.к.

2) расходится, т.к.

3) Гармонический ряд расходится, а

4) сходится, а

Замечание: признак Даламбера удобен, когда члены ряда содержат показательную функцию или n -факториал. Если член ряда есть дробно-степенная функция, признак Даламбера не решает вопрос о поведении ряда.

Интегральный признак сходимости рядов:

Ряд и (при на одновременно сходится или расходится.

Этот признак может быть использован для вывода о сходимости рядов при ряд сходится, ряд расходится. Поведение соответствующих интегралов рассмотрено в теме «несобственные интегралы».

Ряды знакопостоянные сходятся, если их члены достаточно быстро стремятся к нулю.

Знакопеременные ряды могут сходиться не благодаря быстрому стремлению членов ряда к нулю, а из-за того, что последовательность частных сумм не является монотонной.

Если ряд сходится, и ряд из модулей членов ряда тоже сходится, то ряд называют абсолютно сходящимся.

Если ряд сходится, а ряд из модулей членов ряда расходится, то ряд называют условно сходящимся.

Условно сходиться могут только знакопеременные ряды.

Теорема: Если ряд из модулей членов ряда сходится, то и сам ряд сходится.

В доказательстве используют первый признак сравнения.

Из знакопеременных рядов рассмотрим знакочередующиеся ряды, т.е. такие ряды, у которых любые два соседних члена имеют разные знаки. Для таких рядов есть достаточное условие сходимости.

Дата добавления: 2015-07-02