Числовые ряды

1º. Основные понятия.

Пусть {z _k} - некоторая последовательность чисел, вообще говоря, комп- лексных. Рассмотрим последовательность {S _n}, где S ₁ = z ₁ , а при любом натуральном n > 1 S _n = z ₁ + z ₂ + … + z _n . Последовательность {S _n} мо -жет оказаться либо сходящейся, либо расходящейся.

Пусть последовательность {S _n} сходится, а S есть ее предел: lim S _n = S. Будем говорить в этом случае, что числовой ряд

z ₁ + z ₂ + … + z _k + … (1)

сходится, а число S назовем суммой этого ряда. Члены последовательности {z _k} назовем членами ряда (1); S _n назовем его n – ой частичной суммой.

Замечание. Хотя число S и называют суммой, на самом деле оно не явля- ется суммой в привычном понимании этого термина, согласно которому сумма - это результат сложения некоторого конечного количества слагаемых. Суммой является. например, всякий член последовательности {S _n}, начиная с S ₂. Но сложить бесконечное множество членов ряда невозможно, и число S представляет собой результат другого математического действия – преде- льного перехода, примененного к последовательности сумм {S _n}.

Для обозначения ряда (1) мы обычно будем пользоваться символом , а также упрощенным символом . В этих символах z _k называют общим членом ряда. Если ряд сходится, а S является его суммой, т.е. если lim S_n = S, будем записывать: = S.

В случае, когда последовательность {S _n} расходится, будем говорить, что ряд (1) расходится; суммы такой ряд не имеет. Однако, если S _n → + ∞ или S _n → - ∞, принято говорить. что сумма расходящегося ряда (1) равна + ∞ или - ∞ соответственно.

Пример 1. Пусть q – некоторое комплексное число; положим при вском натуральном k z _k = q и рассмотрим ряд = 1 + q + q +…+ q +... (его члены образуют геометрическую прогрессию). Имеем: S _n = 1 + q + q + … + q = . Если |q| < 1, то → 0 и, значит, S _n ; если же |q | > 1, то q → ∞ и, следовательно, S _n . Итак, при |q| < 1 рассматриваемый

ряд сходится, его сумма равна ; при |q | > 1 ряд расходится.

Пример 2. Рассмотрим ряд . Здесь z _k = , S_n = = = ln2 + (ln3 – ln2) + (ln4 – ln3) + … + (ln n – ln(n-1)) + + (ln(n+1) – ln n) = ln (n+1). Очевидно, S _n→ +∞. Значит, ряд расходится, его сумма равна + ∞.

Пример 3. Пусть z _k =(-1) , S _n = 1 – 1 + … …+ (-1) . При четных n эта сумма равна нулю, а при нечетных – единице; значит, последовательность {S _n} частичных сумм ряда не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного. Ряд расходится.

Дата добавления: 2015-07-02