Равномерно сходящиеся последовательности функций

Пусть Х₀ есть множество сходимости для , а f₀ - ее предельная функ- ция. Выберем некоторое . Тогда числовая последовательность сходится к числу , т.е.

N N ().

Заметим, что при фиксированном ε число k_ε зависит, вообще говоря, от выбора х. В тех случаях, когда такой зависимости нет, говорят о равномер- ом стремлении функциональной последовательности к ее предельной функ- ции. Приведем строгое определение, описывающее подобные случаи.

Пусть Е – некоторое множество, содержащееся в Х₀ (случай Е=Х₀ не исключен).

Определение. Будем говорить, что последовательность сходится к функции f₀ равномерно на множестве Е и будем при этом записывать , если

N k N x R ((k > k_ε) .

В этом определении число k_ε не зависит от выбора х в множестве Е: если k > k_ε, то неравенство | f_k (x) – f₀ (x) | < ε справедливо сразу для всех х, при -надлежащих Е.

Пример 3. Пусть , а Е = [0; α ], где 0 <α <1. Покажем, что равномерно сходится на Е к f₀, где f₀ (х) ≡ 0 на Е.. Действительно, при всяком . Зададим некоторое ε > 0. Так как , найдется натуральное k_ε такое, что при всех k > k_ε выполняется Тогда при тех же k и всяком < ε, т. е. последовавательность удовлетворяет на множестве Е = [0;α ] сфор- мулированному выше определению.

Итак, рассматриваемая последовательность равномерно сходится на сег- менте [0; α ], где α – любое положительное число, меньшее единицы. Вмес- те с тем, на сегменте [0; 1] эта последовательность равномерно сходящейся не является. В самом деле, пусть k – некоторое натуральное число; рассмотрим разность f_k (x) – f₀ (x). При имеем: f_k (x) – f₀ (x) = . Очевидно, . По теореме о стабилизации знака неравенства ([3], п.4.5) существует δ_k > 0 такое, что для всех справедливо | f_k (x) – f₀ (x) | = . Таким образом, при любом натуральном k на [0; 1] имеются точки х такие, что| f_k (x) – f₀ (x) | . Отсюда следует, что для ε = ½. нельзя указать k_ε, обладающее тем свойством, что при k > k_ε неравенство справедливо для всех точек сегмента [0; 1].

Теорема 1. (О непрерывности предельной функции) Пусть последова- тельность сходится к предельной функции f₀ равномерно на проме- жутке . Если функции этой последовательности непрерывны на , то и предельная функция f₀ непрерывна на этом промежутке.

► Пусть . Докажем: , т.е.

Пусть k- некоторое натуральное число, а х принадлежит . Имеем:

| f₀ (x) – f₀ (x₀) | = | f₀ (x) – f _k (x) + f _k (x) - f _k (x₀) + f _k (x₀) – f₀ (x₀) | ≤

≤ | f₀ (x) – f _k (x) | + | f _k (x) - f _k (x₀) | + | f _k (x₀) – f₀ (x₀) | = I + II + III.

Зададим некоторое ε > 0. Так как , то найдется натуральное k_ε такое, что при всех k > k_ε справедливо:

I = | f₀ (x) – f _k(x) | и III = | f _k (x₀) – f₀ (x₀) | .

Выберем какое-нибудь k, k > k_ε. При таком k имеем:

| f₀ (x) – f₀ (x₀) | = I + II + III + | f _k (x) - f _k (x₀) |.

Так как функция f _k непрерывна в точке x₀, существует δ > 0 такое, что

.

Отсюда: если |x-x₀| < δ, то | f₀ (x) – f₀ (x₀) | + | f _k(x) - f _k(x₀) | < ε.

Здесь ε – любое положительное число, значит, , где x₀ - любая точка промежутка (если х₀ совпадает с одним из концов промежутка, речь идет об односторонних пределах). Тем самым доказана непрерывность f₀ в точке х₀. Но х₀ - любая точка промежутка. Значит, f₀ непрерывна.на . ◄

Замечание. Если последовательность непрерывных функций не является равномерно сходящейся, ее предельная функция может оказаться разрывной. Так, последовательность непрерывных функций, рассмотренная в примере 3 не является равномерно сходящейся на множестве [-1; 1], и ее предельная функция терпит разрыв в точке х = 1.

Теорема 2. (О предельном переходе под знаком интеграла) Пусть после- довательность сходится к функции f₀ равномерно на сегменте [ a; b ]. Если функции этой последовательности непрерывны на [ a; b ], то

.

► Обозначим: I_k = , I = . Нужно доказать: I_k → I, т.е.

N N (k > k_ε | I_k – I | < ε)

Зададим ε > 0. Так как , найдется k_ε такое, что при всех k > k_ε и всех х справедливо . Пусть k > k_ε ; тогда

| I_k – I | = | | .

Здесь ε – любое положительное число; значит, I_k → I. ◄

Замечание. Доказанной теореме можно дать следующую формулировку: если - равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функ- ций,то знак предела можно внести под знак интеграла:

.

Дата добавления: 2015-07-02