Коэффициенты Тейлора. Ряд Тейлора

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х₀, т.е. на неко- тором интервале (a; b), a<x₀<b, и пусть задан вещественный степенной ряд с положительным радиусом сходимости R и суммой S(х). Мы будем говорить, что функция f разлагается в точке х₀ в степенной ряд , если существует ε > 0 такое, что в ε – окрестности точки х₀ функция f (х) совпадает с S(х), т.е. . Если функ- ция f разлагается в точке х₀ в степенной ряд , будем записывать:

f (х) = , .

Задача о разложении заданной функции в степенной ряд, т.е. о построении степенного ряда, сумма которого совпадала бы с заданной функцией – одна из важнейших в математическом анализе. Легко видеть, что она может иметь решение только тогда, когда у заданной функции есть производные любых порядков, т.е. когда она бесконечно дифференцируема – ведь сумма степен- ного ряда обладает таким свойством. Из теоремы 6 следует, что коэффици- енты степенного ряда, в который разложена функция, должны определенным образом выражаться через значения функции и ее производных. Bведем тер- мины: коэффициенты Тейлора и ряд Тейлора.

Пусть функция f бесконечно дифференцируема в некоторой точке х₀, x₀ R. Обозначим: t₀ = f (x₀), и при всех натуральных k t_k = . Числа t₀, t₁, …, t _k, … называют коэффициентами Тейлора функции f, а вещест- венный степенной ряд

(4)

называют рядом Тейлора функции f в точке х₀.

Заметим, что утверждение 1) теоремы 6 теперь можно сформулировать так: коэффициенты степенного ряда являются коэффициентами Тейлора суммы этого ряда; всякий степенной ряд с положительным радиусом схо- димости есть ряд Тейлора своей суммы. Отметим и справедливость следую- щего утверждения: если заданая функция разлагается вточке х₀ в степенной ряд, то он является рядом Тейлора этой функции.

Таким образом, чтобы функцию f можно было разложить в точке х₀ в степенной ряд, необходимо, чтобы она была бесконечно дифференцируема в этой точке, т.е. имела в этой точке производные любых порядков. Однако, этого недостаточно для разложимости функции в ряд: может оказаться, нап- ример,что радиус сходимости ряда Тейлора равен нулю; а в случае положи- тельного радиуса сходимости может оказаться, что сумма ряда Тейлора функции f не совпадает функцией f. Таким образом, нужны теоремы, гаран- тирующие возможность разложить заданную бесконечно дифференцируемую функцию в ряд Тейлора. Теорема 7 – одна из таких теорем.

Теорема 7. (Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд) Пусть функция f бесконечно дифференцируема на интервале (a; b), a<x₀<b. Если существует М > 0 такое, что при всех натуральных n и всех х, принадлежащих (a; b), справедливо , то ряд Тейлора функции f сходится на интервале (a; b), а его сумма совпадает на этом интервале с функцией f.

► Пусть n – некоторое натуральное число, а х- некоторая точка интервала (a; b). Воспользуемся теоремой Тейлора-Лагранжа ([4], п.2.4): существует ξ, лежащее между х и х₀, такое, что , где - многочлен Тейлора функции f. Отсюда:

,

где . Ряд сходится, что нетрудно показать с помощью признака Даламбера. Значит, , и потому . Здесь х – любая точка интервала (a; b). Это означает, что функция f является на (a; b) предельной функцией последовательности функций . Но, очевидно, мно- гочлен Т_n есть n –ая частичная сумма ряда Тейлора. Следовательно, f есть сумма этого ряда. ◄

Рассмотрим важные для практики примеры разложения функций в ряд Тейлора. В этих примерах функции разложены в точке х₀ = 0. Такие разложе- ния часто называют разложениями в ряды Маклорена.

Пример 1. . При всяком натуральном k . Найдем коэффициенты Тейлора: N . Запишем ряд Тейлора этой функции в точке х₀ = 0 (ряд Маклорена): .Найдем радиус сходимости R этого ряда: Значит, R =+∞. Интервалом сходимости ряда явля- ется вся числовая ось, и сумма ряда S(x) определена во всех ее точках. Функ- ция также определена на всей числовой оси. Совпадают ли и S(x)? Обратимся к теореме 7. Применить ее сразу ко всему интервалу (-∞; +∞) не удастся, так как производные не ограничены на нем. Рас- смотрим интервал (- А;А), где А >0. Для всякого х из этого интервала име- ем: < = M. В силу теоремы 7 во всех точках интервала (-А;А) функции и S(x) совпадают. Отсюда, так как А может быть выбрано лю- бым, следует совпадение и S(x) во всех точках числовой оси. Итак,

= 1 + х+ R

Пример 2. . При всех N . Отсюда:

Запишем ряд Маклорена: Очевидно,при любых х Следовательно, теорема 7 гарантирует сходи- мость рассматриваемого ряда во всех точках числовой оси и совпадение его суммы с . Итак.

= , R

Пример 3. При всех N . Отсюда:

Запишем ряд Маклорена: Так же, как в предыдущем примере теорема 7 гарантирует:

, R

Пример 4. При всех N . Отсюда:

Запишем ряд Маклорена:

Найдем его радиус сходимости R: r = ; значит, R = 1. Выясним поведение ряда в граничных точках ±1 интервала сходимости. (-1;1). Подставив в ряд х = -1 получим расходящийся ряд - , при х = 1 получим знакочередующийся ряд , который условно сходится. Таким образом, множество сходимости представляет собой полуоткрытый промежуток (-1; 1]. Сумму этого ряда обозначим через S(x):

S(x) = , (-1; 1].

По теореме 4 S(x) дифференцируема на интервале сходимости (-1; 1), и при всяком х из этого интервала S′ (x) = Сумма ряда в правой части этого равенства есть, очевидно, . Значит, на (-1;1) S(x) = . Равенство S(x) = ln (1+ x) справедливо и при х =1. Действительно, S(x) непрерывна на (-1; 1] (см. замечание к теореме 2) и совпадает с ln (1+ x) на (-1; 1); поэтому S(1) = =ln2. Итак,

ln (1+ x) = , (-1; 1].

Пример 5. , где α – вещественное число, отличное от нуля и не принадлежащее к натуральным числам. При любом натуральном k . Значит,

.

Найдем радиус сходимости R ряда Маклорена:

R = 1.

Обозначим через S(x) сумму этого ряда:

Записанное равенство справедливо для каждого х, принадлежащего интерва- лу сходимости (-1;1). По теореме 4 для тех же х

Умножим обе части этого равенства на 1+ х: (1+ х) S′(x) = S′(x) + х S′(x) =

=

+ х =

= α = = α S(x).

Таким образом, на интервале (-1;1) (1+ х) S′(x) = α S(x). Обозначим: . Заметим: . Значит, F′ (x) тождественно на (-1;1) равна нулю; поэтому F (x) тождественно на (-1;1) равна константе. Но . Следовательно, F (x) ≡ 1,т.е. при всех х, принадлежа- щих интервалу сходимости (-1;1), справедливо S(x) = (1+ х) . Итак, на ин- тервале (-1;1) (1+ х) =

=

Литература

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1,-М.: Высшая

школа, 1981.

2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа, -М.: Наука

1989.

3. Рыжаков И.Ю. Математический анализ. Предел последовательности.

Предел функции. Непрерывные функции. С-Пб.:

СПбГТУ, 2000.

4. Мухина И.В., Рыжаков И.Ю. Дифференциальное исчисление функций

одного аргумента, С-Пб.: СПбГТУ, 1993.

5. Рыжаков И.Ю. Математический анализ. Определенный интеграл.

Несобственные интегралы. С-Пб.: СПбГТУ, 1996.

Оглавление

§ 1. Числовые ряды

1˚. Основные понятия ………………………………………. 3

2˚. Общие свойства числовых рядов ……………………………. 4

3˚. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами …... 7

4˚. Признаки сходимости произвольных рядов ………………… 14 5˚. Абсолютно сходящиеся ряды …………………………………….. 17

6˚. Степенные ряды ……………………………………………….. 23

§ 2. Функциональные последовательности и ряды

1˚. Последовательности функций ……………………………….. 27

2˚. Равномерно сходящиеся последовательности функций …….. 27

3˚. Функциональные ряды ……………………………………………. 30

4˚. Равномерно сходящиеся функциональные ряды ……………… 31

§ 3. Ряды Тейлора

1˚. Вещественные степенные ряды …………………………… 33

2˚. Коэффициенты Тейлора. Ряд Тейлора. ……………………… 37

Дата добавления: 2015-07-02