Сходимость числовых положительных рядов Необходимый признак сходимости ряда

Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. При этом возможны два случая:

1) Ряд расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: . Хороший пример расходящегося числового ряда встретился в начале урока: . Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда – больше, чем предыдущий, поэтому и, значит, ряд расходится. Чуть ниже мы рассмотрим более строгий математический критерий для данного примера.

2) Ряд сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : . В качестве примера сходящегося числового ряда можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам со школы: . Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти по формуле: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии. В данном случае: , . Таким образом: Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать.

В подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда затруднительно, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.

Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши, некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда , образно говоря – от «начинки» ряда. На этом уроке мы рассмотрим необходимый признак сходимости ряда и признаки сравнения.

! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать, что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида . Для повторения материала обратитесь к статье Пределы. Примеры решений.

Дата добавления: 2015-07-02