Актуальность

Людей в зданиях и сооружениях при возникновении пожара.

Использование сетей Петри для оценки времени эвакуации

План

1) Аннотация

2) Актуальность

3) Постановка задачи моделирования с использованием сетей Петри

4) Пример

5) Алгоритм решения задачи

6) Выводы

7) Список использованной литературы

Аннотация

В данной курсовой рассматривается моделирование с помощью сетей Петри.

В наше время такой мощный инструмент, как сети Петри используется не слишком широко, однако есть сферы в которых просто необходимы такие знания. Моделирование в динамике - вот главное преимущество.

Дальше, рассмотрим пример с использованием сетей Петри для оценки времени эвакуации людей в зданиях и сооружениях при возникновении пожара. В такой ситуации, разрешение задачи с помощью сетей подошло идеально.

Качество управления непосредственно влияет на объем и издержки производства, в конечном счете определяя эффективность работы предприятия в целом. Расширение номенклатуры, увеличение сложности и сменяемости выпускаемой продукции, развитие рыночных механизмов усложняют решение задач управления. Основу этих задач составляют планирование и регулирование процессов производства. Таким образом, существует народно-хозяйственная проблема автоматизации процесса управления производственными системами. Ее решение позволит повысить эффективность функционирования производства за счет совершенствования методов планирования и регулирования производства, а также обеспечит снижение издержек.

Теоретические основы решения задачи управления производством сформировались к концу 60-х годов прошлого столетия. Однако, как показывает имеющийся отечественный и зарубежный опыт в области управления производственными системами, поиск методов и средств построения автоматизированных систем управления, математических моделей производства остается актуальным и в настоящее время. Это объясняется тем, что для большинства практически важных задач отсутствуют эффективные методы решения, а их четкая математическая формулировка зачастую вызывает существенные трудности. Традиционные модели, используемые в математических постановках задач управления дискретным производством, являются слабо приспособленными для непосредственного создания на их основе компьютерных систем управления. Затруднения обуславливаются

-"жесткостью" моделей, т.е. сложностью структурных изменений элементов модели (например, дополнения системы ограничений, изменения формы критерия эффективности);

- необходимостью представления сложных ресурсных отношений, наглядного отображения текущего состояния и динамики производства при получении прогнозов, необходимых для обоснованного принятия решения;

- недостаточной инвариантностью моделей к возмущающим воздействиям, что снижает степень соответствия модели реальной системе.

Из-за использования методов декомпозиции моделей управления, имеет место нарушение принципа комплексности автоматизации т.к. имеется возможность потери большой части полученного результата на стыках задач управления.

Таким образом, имеющиеся методы решения задач планирования и регулирования дискретного производства не в полной мере соответствуют их сложности. Это обстоятельство представляется научной проблемой, выражающейся в необходимости поиска новых подходов к синтезу математических моделей производства, как например сети Петри, их исследованию и оптимизации представляемых ими объектов. {8}

Актуальность данной работы обусловлена вступлением в силу техническим регламентом о требованиях пожарной безопасности. Положения данного регламента обязательны для исполнения любых стадий жизненного цикла объектов защиты; разработка, принятие, применение и исполнение регламентов, содержащих требования пожарной безопасности, а также нормативных документов по пожарной безопасности;

разработка технической документации на объекты защиты.

Расчеты по оценке пожарного риска проводятся путем сопоставления расчетных величин пожарного риска с соответствующими нормативными значениями пожарных рисков на основании:

анализа пожарной опасности объекта защиты;

определения частоты реализации пожароопасных ситуаций;

построения полей опасных факторов пожара для различных сценариев его развития;

оценки последствий воздействия опасных факторов пожара на людей для различных

сценариев его развития;

наличия систем обеспечения пожарной безопасности зданий, сооружений и строений.

На основании этих методик предложено использовать для моделирования компонента расчета пожарного риска,такого как время эвакуации людей из зданий и сооружений при возникновении пожаров,стохастические и нечеткие потоковые сети Петри, которые, наи-

более полно отражают вероятностный характер пребывания людей в помещении.

{4, стр. 60}

Постановка задачи моделирования с использованием сетей Петри:

Сети Петри были разработаны и используются для моделирования систем, которые содержат взаимодействующие параллельные компоненты, например аппаратное и программное обеспечение ЭВМ, гибкие производственные системы, а также социальные и биологические системы. Впервые сети Петри предложил Карл Адам Петри в своей докторской диссертации "Связь автоматов" в 1962 году. Работа Петри привлекла внимание группы исследователей, работавших под руководством Дж. Денниса над проектом МАС в Массачусетском Технологическом институте. Эта группа стала источником значительных исследований и публикаций по сетям Петри. Полная оценка и понимание современной теории сетей Петри требуют хорошей подготовки в области математики, формальных языков и автоматов. Современный инженер - системотехник должен иметь квалификацию, необходимую для проведения исследований с помощью сетей Петри.

Сети Петри - инструмент исследования систем. Сети Петри делают возможным моделирование системы математическим представлением ее в виде сети Петри. Математическим аппаратом сетей Петри является теория комплектов. Теория комплектов представляет собой естественное расширение теории множеств. Как и множество, комплект является набором элементов из некоторой области. Однако в отличие от множества комплекты допускают наличие нескольких экземпляров одного и того же элемента. В отличие от множества, где элемент либо является элементом множества, либо нет, в комплект элемент может входить заданное число раз. Пусть область представляет собой {a,b,c,d}, тогда комплекты над этой областью будут иметь вид:

B1={a,b,c} B2={a} B3={a,b,c,c}

B4={a,a,a} B5={b,c,b,c} B6={c,c,b,b}

B7={a,a,a,a,a,a,b,b,b,b,b,c,d,d,d,d,d} {5}

Основным понятием теории комплектов является функция числа экземпляров.

# -функция. Обозначение #(x,B) число х в В т.е. число экземпляров элемента х в В. Если ограничить число элементов в комплекте так, что 0 <= #(x,B) <= 1, то получим теорию множеств.

Элемент х является членом комплекта В, если #(x,B) > 0. Аналогично, если #(x,B) = 0 то х не принадлежит В.

Определим пустой комплект 0, не имеющий членов (для всех х: #(x,0) = 0). Под мощностью |В| комплекта В понимается общее число экземпляров в комплекте |B| = S_x #(x,B).

Комплект А является подкомплектом комплекта В (обозначается АÍВ), если каждый элемент А является элементом В по крайней мере не больше число раз, т.е. АÍВ тогда и только тогда, когда #(x,A) <= #(x,B) для всех х.

Два комплекта равны (А = В), если #(x,A) = #(x,B).

Комплект А строго включен в комплект В (АÍВ), если АÍВ и А не равно В. Над комплектами определены 4 операции. Операции для двух комплектов А и В:

1 объединение АÈВ: #(x,AÈB) = max (#(x,A),#(x,B));

2 пересечение А ÇВ: #(x,A ÇB) = min (#(x,A),#(x,B));

3 сумма А + В: #(x,A + B) = #(x,A)+#(x,B);

4 разность А - В: #(x,A - B) = #(x,A) - #(x,B);

Назовем множество элементов, из которых составляются комплекты, областью D. Пространство комплектов Dⁿ есть множество всех таких комплектов, что элементы их принадлежат D и ни один из элементов не входит в комплект более n раз. Иначе говоря, для любого В Î Dⁿ:

а) из х Î В следует х Î D;

б) для любого х #(x,B) <= n.

Множество D^¥ есть множество всех комплектов над областью D, без какого либо ограничения на число экземпляров элемента в комплекте.

Сеть Петри состоит из 4 компонентов, которые и определяют ее структуру:

- множество позиций Р,

- множество переходов Т,

- входная функция I,

- выходная функция О.

Входная и выходная функции связаны с переходами и позициями. Входная функция I отображает переход t_j в множество позиций I(t_j), называемых входными позициями перехода. Выходная функция О отображает переход t_j в множество позиций О(t_j), называемых выходными позициями перехода. Т.е.

(I: T -> P^¥)

(O: T -> P^¥).

Определение 1. Сеть Петри С является четверкой С = (P,T,I,O) где

Р={p1,p2,...,p_n} конечное множество позиций, n>=0.

T={t1,t2,...,t_m} конечное множество переходов, m>=0.

Множества позиций и переходов не пересекаются.

I: T -> P^¥ является входной функцией -

отображением из переходов в комплекты позиций.

O: T -> P^¥ выходная функция - отображение из переходов в комплекты позиций.

Мощность множества Р есть число n, а мощность множества Т есть число m. Произвольный элемент Р обозначается символом p_i, i=1...n; а произвольный элемент Т - символом t_j, j=1...m.

рис. 1

Позиция p_i является входной позицией перехода t_j, в том случае, если p_i Î I(t_j);

p_i является выходной позицией перехода, если pi Î O(t_j).

рис. 2

Входы и выходы переходов представляют комплекты позиций. Кратность входной позиции для перехода t_j есть число появлений позиции во входном комплекте перехода #(p_i,I(t_j)). Аналогично, кратность выходной позиции p_i для перехода t_j есть число появлений позиции в выходном комплекте перехода #(p_i,O(t_j)).

Определим, что переход t_j является входом позиции p_i, если p_i есть выход t_j (рис. 2). Переход t_j есть выход позиции p_i, если p_i есть вход t_j (рис. 1). {www.softcraft.ru}

Построение моделей систем в виде сетей Петри связано со следующими обстоя­тельствами:

1. Моделируемые процессы (явления) совершаются в системе, описываемой множеством событий и условий, которые эти события определяют, а также причинно - следственными отношениями, устанавливаемыми на множестве "события - условия".

2. Определяются события - действия, последовательность наступления которых управ­ляется состоянием системы. Состояния системы задаются множеством условий. Условия формулируются в виде предикатов. Количественные условия характеризуются емкостью. Емкость условий выражается числами натурального ряда.

3. Условия (предикаты) могут быть выполнены или не выполнены. Только выполнение условий обеспечивает возможность наступления событий (предусловия).

4. После наступления события обеспечивается выполнение других условий, находящихся с предусловиями в причинно - следственной связи (постусловия). После того, как событие имело место, реализуются постусловия, которые в свою очередь являются предусловиями следующего события и т.д.

{9}

Основным параметром для обеспечения безопасности людей при расчете пожарного риска является расчетный индивидуальный риск QB, который может быть меньше или равен нормируемому индивидуальному риску QN. Расчетный индивидуальный риск может быть вычис-

лен по формуле

(1)

где QE – вероятность возникновения пожара в течение года; P1 – вероятность присут-

ствия людей в здании при функционировании в разное количество смен (0,33 – одна сме-

на; 0,66 – две смены; 1 – три смены); P2 – вероятность эффективной работы техниче-

ских решений противопожарной защиты, направленных на обеспечение безопасности

эвакуации людей; P3 – вероятность эвакуации людей.

Вероятность эффективной работы технических решений противопожарной защи-

ты P2, направленных на обеспечение безопасной эвакуации людей, рассчитывают по

формуле

(2)

где n – число технических решений противопожарной защиты в здании; Ri – вероятность

эффективного срабатывания i-го технического решения.

Вероятность эвакуации Р3 рассчитывают по формуле

(3)

где PЭ – вероятность эвакуации по эвакуационным путям; РА – вероятность покидания

здания через аварийные выходы или с помощью иных средств спасения (0,03 – при нали-

чии таких путей; 0,001 – при их отсутствии).

Вероятность PЭ рассчитывается по формуле

(4)

где tb – время от начала пожара до блокирования эвакуационных путей в результате рас-

пространения на них опасных факторов пожара, имеющих предельно допустимые для

людей значения (время блокирования путей эвакуации), мин; te – расчетное время эва-

куации людей, мин; t0 – интервал времени от возникновения пожара до начала эвакуа-

ции людей, мин.

При наличии в здании системы оповещения о пожаре t0 принимают равным времени

срабатывания системы с учетом ее инерционности. При отсутствии необходимых исход-

ных данных для определения времени начала эвакуации в зданиях (сооружениях) без

систем оповещения t0 следует принимать равным 0,5 мин – для этажа пожара и 2 мин –

для вышележащих этажей.

Если местом возникновения пожара является зальное помещение, где пожар может

быть обнаружен одновременно всеми находящимися в нем людьми, то t0 допускается

принимать равным нулю, и первая строка формулы (4) опускается, а вторая строка при-

обретает строгое неравенство.

Таким образом, расчетный индивидуальный риск при пожаре в зданиях и сооруже-

ниях зависит от двух основных параметров: время от начала пожара до блокирования

эвакуационных путей в результате распространения на них опасных факторов пожара и

расчетного времени эвакуации людей.

В данной курсовой остановимся на моделировании расчетного времени эвакуации

людей. Для моделирования этого параметра представим модель процесса эвакуации из

здания/сооружения в формальном виде. Пусть S – объект эвакуации (здание или соору-

жение), которое может быть представлено в виде совокупности элементов S = (S0, M, C),

где S0 – множество общих характеристик здания; M – множество конструктивных эле-

ментов здания (помещения, коридоры, лестничные марши, тамбуры, дверные проемы и

др.); С – множество людей в здании.

Расчетное время эвакуации людей. Из множества конструктивных элементов M вы-

деляется множество эвакуационных путей MP. Каждый эвакуационный путь имеет две

характеристики: длину а и ширину b (MPi = {ai, bi}). Длина и ширина каждого участка

пути эвакуации принимаются по проекту здания. Длина пути по лестничным маршам

измеряется по длине марша. Длина пути в дверном проеме принимается равной нулю.

В множестве С каждый элемент описывается тремя параметрами Сi={x0, y0, g}. Коор-

динаты человека в помещении x0 и y0 в начальный момент времени задаются в соответст-

вии со схемой расстановки людей в помещениях или равномерно по всей площади поме-

щения с учетом расстановки технологического оборудования. Далее x0 и y0 преобра-

зуются в одну координату x – расстояние от центра данного человека до конца эвакуаци-

онного участка. Средняя площадь горизонтальной проекции взрослого человека g прини-

мается как 0,1 м2 или 0,125 м2 с учетом зимней одежды.

С использованием представленной модели можно определить расчетное время эвакуа-

ции людей из помещений и зданий te по расчету времени движения одного или несколь-

ких людских потоков через эвакуационные выходы от наиболее удаленных мест размеще-

ния людей:

(5)

{2, стр. 160}

где n – количество участков; ti – время движения людского потока на первом участке,

которое зависит от длины участка и скорости людского потока.

В свою очередь скорость потока на первом участке зависит от плотности потока на нем

(6)

где N1 – число людей на первом участке; g – средняя площадь горизонтальной проекции

взрослого человека; l1, b1 – длина и ширина первого участка.

Скорость потоков на участках, следующих после первого, зависит от интенсивности

потока, которая выражается зависимостью от интенсивности потока предшествующих

участков:

(7)

где qi, qi–1 – интенсивности потоков на i-ом и предшествующих участках; bi, bi-1 – ши-

рина i-го и предшествующего участка.

Из вышеописанного можно сделать вывод, что моделирование расчетного времени

эвакуации людей тесно связано со структурой здания и его помещения. Наилучшими

представлениями путей эвакуации могут служить графы. В нашем же случае авторы

статьи предлагают взять за основу описания и моделирования процесса эвакуации меха-

низм сетей Петри, который основан на графовом представлении. В частности, это пото-

ковые и стохастические или нечеткие сети. {6}

Несомненным достоинством сетей Петри является математически строгое описание

модели. Это позволяет проводить их анализ с помощью современной вычислительной тех-

ники. Преимущества использования сетей Петри в моделировании:

 большие выразительные способности в представлении параллельных асинхронных

систем;

 способность представления локального управления, параллельных, конфликтных,

недетерминированных и асинхронных событий;

 графическое представление сети;

 понятность модели и легкость ее изучения;

 возможность иерархического моделирования на их основе;

 возможность описания системы на различных уровнях абстракции;

 возможность представления системной иерархии;

 возможность машинной поддержки в проектировании.

Представление с помощью потоковой сети. Дадим определение сети Петри. Сетью

Петри называется двудольный ориентированный граф с = (M, T, *), где M = {Mi}, Т= {ti}

конечные непустые множества вершин, называемые соответственно позициями (места) и

переходами; * – отношение между вершинами, соответствующее дугам графа.

К потоковым сетям относятся интерпретированные регулярные сети, в которых пе-

реходы интерпретируются как операции (функции), места как очереди, а фишки как

данные. Дополнительно принимаются следующие соглашения: переход с n входными мес-

тами может интерпретироваться n-местной операцией; имеется не явный, скрытый меха-

низм организации очереди данных фишек в каждом месте.

В нашем случае фишками (данными) будут являться люди, которые накапливаются

в помещениях (места, очереди). В качестве перехода используется функция, учитываю-

щая время нахождения фишки в очереди (время движения человека по участку) с учетом

плотности и интенсивности потока (6). Данное время прямо пропорционально длине уча-

стка и обратно пропорционально скорости потока людей на этом участке.

В моделируемой потоковой сети операция, соответствующая переходу, может испол-

ниться, если хоть одна фишка присутствует в операции перехода, в которую она посту-

пает, если она готова к этому (отработала задержку, равную времени нахождения в дан-

ном помещении). Это отличительная особенность потоковых сетей от асинхронного

событийного управления – условие готовности привязано только к влиянию потоков дан-

ных, а не управляющим событиям. {3, стр. 133}

Пример:

Приведем пример, на котором изображены план эвакуации из помещений (рис. 1) и

соответствующая ему потоковая сеть (рис. 2). Нотация сетей Петри предполагает исполь-

зование диаграмм, состоящих из двух типов объектов: события (множество мест) и усло-

вия (переходы). В графическом представлении сетей переходы изображаются «барьера-

ми», а места кружочками. Стрелками отображаются их непосредственные зависимости.

Рис. 1. Пример плана эвакуации из здания

Рис. 2. Пример потоковой сети на основе плана эвакуации

Внутри кружочка могут быть отображены фишки или цифры, показывающие коли-

чество фишек (обычно если фишек больше трех, то отображаются цифры). Например,

помещению с номером M1 на рис. 1 соответствует кружок с номером M1 на рис. 2. Двер-

ные проемы также являются местами, проему M11 (см. рис. 1) соответствует кружок M11

(см. рис. 2). А t1 – это условие перехода фишки из помещения M1 в M2. Под фишками в

нашем представлении мы будем понимать людей в помещении.

Переходы, моделируемые представляемыми потоками сетей, имеют один вход, сле-

довательно, мы можем говорить о моделировании ординарными потоковыми сетями.

Маркировка сети может характеризоваться вектором μ = (μ(M1),..., μ(Mn)), где n –

число позиций сети Петри. Для сети, изображенной на рис. 2, вектор μ выглядит сле-

дующим образом: μ = (3, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0).

Фактор наличия людей в помещении может носить как вероятностный, так и нечет-

кий характер. Одно из обобщений сетей Петри связано с реализацией в них дополнитель-

ных свойств, которые позволяют описывать в них неопределенность поведения систем в

процессе их функционирования. Здесь могут быть предложены два подхода: описание не-

определенности срабатывания переходов, находящихся в состоянии конфликта; описание

неопределенности количества фишек в позиция.

Первый подход для решения поставленных задач не является актуальным, а второй

является весьма значимым. Количество фишек во всех позициях сети определяют гло-

бальное состояние системы. Неопределенность наличия фишек может быть описана как с

вероятностных позиций, так и с позиций теории нечетких множеств.

Анализ процесса эвакуации людей стохастическими и нечеткими сетями Петри. {7}

Каждый из подходов (стохастический или нечеткий) может применяться для моделирова-

ния в нашей задаче для разных условий неопределенности.

Определим стохастическую потоковую сеть Петри. В определении стохастической

потоковой сети S = (c, μ) присутствует два компонента: с = (M, T, *) и отображение

μ: M→N, которое присваивает каждой позиции Mi определенное число фишек μ(Mi).

(Ю.Б. Гриценко, О.И. Жуковский, О.Г. Загальский. Использование сетей Петри)

Как и в обычной сети Петри, в стохастической сети Петри при срабатывании перехо-

дов происходит процесс перераспределения фишек, который отражается в изменении век-

торов распределения вероятностей наличия фишек в позициях. Таким образом, на усло-

вие перехода в потоковой сети накладывается дополнительное вероятностное условие:

переход ti T в стохастической сети S = (c, μ) разрешен, если у вектора вероятностей ка-

ждой входной позиции этого перехода имеется компонента, не равная нулю, с номером,

равным или большим числу дуг, соединяющих данную позицию с переходом [3]. В на-

шей задаче сеть является ординарной, значит, вектор вероятностей может быть заменен

одним скалярным значением вероятности, что существенно упрощает решение данной

задачи.

Определим нечеткую потоковую сеть Петри. Нечеткой сетью Петри называется пара

S = (c, μ), где с = (M, T, *) описывает структуру сети в отображение μ: M→N присваивает

каждой позиции Mi вектор распределения степеней принадлежности фишек к позиции

μ(Mi).

Принципиальное отличие маркировки в нечетких сетях от маркировки в стохастиче-

ских сетях состоит в том, что сумма компонент любого вектора распределения степеней

принадлежности фишек может отличаться от единицы. Вместе с тем со структурной точ-

ки зрения маркировка в обоих классах сетей однотипна. Это дает основание предполагать,

что правило разрешения переходов в нечетких сетях аналогично правилу в стохастиче-

ских сетя. {11}

Дата добавления: 2015-07-02