Минимизация ФАЛ методом кубических форм

Теорема поглощения и теорема склеивания – основные теоремы минимизации ФАЛ

2.1.Теорема поглощения:

(x₀x₁+x₁)=(x₀+1)x₁=x₁; (KX₀+K)=K,

(x₁+x₀)x₁=x₁x₁+x₀x₁=x₁x₀+x₁=x₁; (K+X₀)K=K.

2.2. Теорема склеивания:

; ;

; ,

Действительно:

3. Минимизация ФАЛ методом Квайна.

3.1 Минимизируемая функция представляется в СДНФ и к ней применяются все возможные операции неполного склеивания:

1)

а затем поглощения:

2) K+KX₀=K(1+ X₀)=K, где

3.2 Эта пара операций может применяться многократно:

y= (x_2,x_1,x₀)= Σ(3,4,5,6,7)=V(011,100,101,110,111)

+ + ;

4.1. можно сформировать различные покрытия k кубов разных рангов(r):

Мы условились, что цена i-го покрытия равна сумме покрытий каждого куба:

Цi= ΣЦ_k= Σ(n-r)_k,

где – Ц_k=(n-r)_k - цена k-куба, входящего в покрытие;

n - число переменных куба;

r - ранг куба.

4.2 Суть минимизации ФАЛ сводится к поиску покрытия П(Z) кубического комплекса К(Z), имеющего минимальную цену Ц_n= ΣЦ_k ® min.

4.3. Покрытие П(Z) комплекса К(Z), имеющее минимальную цену, называется покрытием Квайна, а соответствующая этому покрытия ДНФ называется минимальной ДНФ (МДНФ).

Пример:

K(Z)=(011,100,101,110,111,-11,11-,1-1,10-,1-0,1- -);

П₁(Z)=(011,100,101,110,111)=K₀; ;

П₂(Z)=(-11,11-,1-1,10-,1-0)=K₁; .

Перебирая сочетания кубов различных рангов можно получить следующее покрытия

П₃(Z)=(011,11-,10-)=K₂, ;

П₄(Z)=(-11,1-1,1-0)=K₃, ;

П₅(Z)=(011,1- -)=K₄ , Ц_n= 3+1=4;

П₆(Z)=(-11,1- -) и т.д. Ц_n= 2+1=3.

Соответствующие ДНФ имеют

,

,

, ,

; .

Покрытие, имеющее минимальную цену, называется покрытием Квайна, а соответствующая этому покрытию ДНФ - МДНФ.

5. Минимизация ФАЛ методом карт Карно(Вейча)

5.1. Карта Вейча – прямоугольная таблица, число клеток в которой для ФАЛ n-переменных равно 2ⁿ. Каждой из клеток поставлен в соответствие некоторый набор входных переменных, причем рядом расположенным клеткам соответствуют соседние наборы входных переменных (кодов), а в самих клетках записаны значения функции, определенные для этих кодов.

Карты Карно – это графическое двухкоординатное представление таблиц истинности (матричное представление). По осям располагают значения (наборы) входных переменных, а значения логических функций – в ячейках (клетках), расположенных на пересечении строк и столбцов.

5.2 Карта Карно двух переменных:

1

0

5.3 Карта Карно трех переменных:

01 11 10 00

1

0

«Цилиндр»

Крайние столбцы являются соседними.

Нижние и верхние строки – соседние.

5.4 Карта Карно 3-х переменных:

01 11 10 00

10

11

01

00

«Тор»

Крайние столбцы являются соседними.

Нижняя и верхняя строки – соседние.

1.3 2. Для примера, представленного таблицей истинности карта Карно

будет выглядеть следующим образом:

				КЛС

Д1

У

Д 2

Д 3

00 01 11 10

0 0 1 0 1

1 1 0 0 1

Для реализации КЛС потребуется 3элемента НЕ, 4 элемента И на три входа и 1 элемент ИЛИ.

Два метода минимизации булевых выражений по картам Карно:

· метод минимальных сумм;

· метод минимальных произведений;

3. Метод минимальных сумм заключается в следующем:

· в карте Карно рассматриваются только ячейки, содержащие 1;

· ячейки, содержащие 1, объединяются в группы размером , где a и b – целые неотрицательные числа, включая 0, так, чтобы число ячеек в группе было как можно больше, а число групп наименьшим.

· Для каждой группы отбираются те переменные на координатных осях, значения которых не изменяются в пределах группы. Эти переменные и будут входить в произведение минимальной суммы. Если переменные равны логическому нулю, то они должны входить с отрицанием, если они равны логической единице – без отрицания.

Дата добавления: 2015-07-02