Умножение матриц

Умножение матрицы на число и сложение матриц

Действия с матрицами

По определению, чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.

Пример. Умножить матрицу на число

Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Суммой матриц и называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и .

Пример. Сумма двух матриц

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через . Для любой матрицы имеем , .

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

где , , - матрицы, , - числа.

Произведение матрицы на матрицу определено только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения получим матрицу , у которой столько же строк, как у матрицы , и столько же столбцов, как у матрицы .

По определению элемент матрицы равен сумме парных произведений элементов -ой строки матрицы , на соответствующие элементы -го столбца матрицы .

Пример. Найти произведение матриц

,

Очевидно, что произведение матриц не обладает перестановочным свойством, т.е. некоммутативно. Если все-таки выполняется равенство , то матрицы и называются перестановочными.

Свойства произведения матриц:

1) , где -число;

2) ;

3) ;

4) .

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы равны 1.

.

Свойство единичной матрицы: для любой квадратной матрицы .

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу , порядка . Если существует такая матрица , что , то говорят, что обратима, а называют обратной матрицей для матрицы .

Дата добавления: 2015-07-02