Уравнения, сводимые к однородным

Приводящиеся к ним

Уравнение вида (4.1)

где непрерывные в некоторой области и однородные функции одной и той же степени, называется однородным.

Функция называется однородной степени если выполняется равенство

С помощью замены уравнение (4.1) сводится к уравнению с разделяющимися переменными и .

Пример 4.1. Решить уравнение

В данном уравнении функции являются однородными степени Полагая получаем

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решая его, получим общее решение или

Пример 4.2. Решить уравнение

Перепишем уравнение в виде .

Легко проверить, что функции и однородные одной и той же степени Поэтому, применив замену получим Разделяя переменные и интегрируя, находим или

Некоторые дифференциальные уравнения можно при помощи замены свести к однородному уравнению. Например, уравнение вида (4.2)

где постоянные величины), при условии или (4.3)

Условие (4.3) означает, что система уравнений (4.4)

имеет единственное решение. Пусть решение системы (4.4). В результате замены правая часть уравнения (4.2) приобретает вид .

Если условие (4.3) не выполняется, т.е. , то система (4.4) не имеет решения, т.е. просматривается зависимость вида где В этом случае уравнение (4.2) приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой . (4.5)

Пример 4.3. Решить уравнение

Данное уравнение сводится к виду (4.2)

где

Поскольку то производим замену , где постоянные удовлетворяют системе уравнений Из этой системы уравнений находим

Таким образом, после замены получим дифференциальное уравнение

Последнее является однородным уравнением. С помощью замены

получаем

Разделяя переменные и интегрируя, находим или или

Пример 4.4. Решить уравнение

Поскольку то используя выражение (4.5), производим замену Тогда и исходное уравнение принимает вид

Интегрируя это уравнение и возвращаясь к переменной , получаем

Замечание. Уравнение вида (4.1) называется обобщенно-однородным, если существует такая постоянная что после замены оно становится однородным.

Пример 4.5. Решить уравнение

Применив замену получим уравнение

Т.к. функции и однородны и имеют одну и ту же степень (постоянная находится из условия равенства степеней: ), то данное уравнение приводится к однородному с помощью замены

Таким образом, получаем уравнение

Последнее уравнение является однородным и с помощью замены получаем уравнение с разделяющимися переменными /

Разделяя переменные и интегрируя, получаем , , , ,

Задания для работы на семинаре

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задания для самостоятельной работы

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. стр.18, №101 ­– 129, А.Ф. Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям.

Дата добавления: 2015-06-27