Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Лемма. Интеграл от функции f(x) на симметричном интервале [-a, a] равен 0 для нечетной функции и для четной функции равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка

- нечетная функция; 2 - четная функция (23)

График четной функции симметричен, нечетной функции антисимметричен. Каждый из ни распадается на две части на интервалах [-a, 0] и [0, a], которые ограничивают одинаковые по площади криволинейные трапеции. Но знаки этих площадей совпадают для четных функций и противоположны для нечетных. Для четной функции имеем

= + ={x=-z} = - + = +

Для нечетной функции приходим к разности одинаковых интегралов. Произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная, произведение двух нечетных функций есть функция четная. Эти свойства интегралов существенно упрощают вид ряда Фурье для четных и нечетных функций.

Для четных функций ряд Фурье имеет вид:

f(x) = a₀/2 + a_ncos nx, где а₀ = 2/ ; a_n = 2/ ; b_n = 0 (24)

для нечетных функций: f(x) = b_nsin nx, где b_n = 2/ ; a_n = 0 (25)

Пр. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2 , если на [- , ]она имеет вид f(x) = |x|.

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле и является четной, поэтому b_n = 0,

а₀ = 2/ = а₀ = 2/ = ; a_n = 2/ = 2/ =

= 2/ n[x sin nx|₀ - ] = (2/ n²)[cos n - 1] = (2/ n²)[ ((-1)ⁿ - 1) =

= (2/ n²) { . Т.о., f(x) = /2 - 4/ (2m -1)^-2 cos(2m-1) x

Дата добавления: 2015-07-02