Логика, алгебра и исчисление высказываний

ЛЕКЦИЯ 7

Элементом логики высказываний является атомарное высказывание, которое нельзя разбить на компоненты и обладающее истинностным значением - истина или ложь. Например: “Москва - столица России” в настоящий момент - истинное высказывание, а высказывание “2=1”- ложное.

В алгебре высказываний в качестве элементов выступают простые высказывания и содержанием этой алгебры являются операции над этими высказываниями. Из простых высказываний можно образовывать новые составные высказывания. Для этих целей используются грамматические связки: “не”, “и”, “или”, “если..., то”, “тогда и только тогда”. Построение из данных высказываний нового составного высказывания называется логической операцией над высказываниями. В алгебре высказываний все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и что ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Будем обозначать высказывания латинскими буквами A, B, C,... Основными логическими операциями над высказываниями являются: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность. Все эти операции можно наглядно представить с помощью так называемых таблиц истинности. В их строках указываются два возможных логических значения простых высказываний: 1(истина) 0(ложь), также значения составного высказывания, полученного в результате применения соответствующей операции.

Под отрицанием высказывания A понимают новое высказывание, обозначаемое ù A, которое считается истинным, если A ложно, и ложным, если A истинно. Отрицанию можно сопоставить таблицу истинности.

Таблица 5. Таблица истинности: отрицание

A	ù A

Например: Для истинного высказывания “восемь делится на четыре” отрицанием является ложное высказывание: “неверно, что восемь делится на четыре”, или “восемь не делится на четыре”.

Конъюнкцией двух высказываний A и B считается новое высказывание, обозначаемое символом A Ù B (читается: A и B), которое истинно, если оба высказывания A и B истинны, и ложно, если хотя бы одно из них ложно. Высказывания A и B называются членами конъюнкции. Конъюнкция высказываний A и B имеет следующую таблицу истинности:

Таблица 6. Таблица истинности: конъюнция

A	B	A Ù B

Например: Для высказывания “семь меньше десяти” и “восемь делится на четыре” конъюнкцией является истинное высказывание: “семь меньше десяти и восемь делится на четыре”. В алгебре высказываний союз “и” употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом “и” два высказывания, далёкие друг от друга по содержанию. В алгебре высказываний рассматривается конъюнкция двух любых высказываний.

Дизъюнкцией двух высказываний A и B называется новое высказывание, обозначаемое символом A Ú B (читается A или B), которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний A или B истинно, и ложным, если оба они ложны. Высказывания A и B называются членами дизъюнкции. Для дизъюнкции получается следующая таблица истинности:

Таблица 7. Таблица истинности: дизъюнкция

A	B	A Ú B

Например: Для двух высказываний “2 > 3”, “трава зелёная” дизъюнкция представляет собой истинное высказывание “2 > 3 или трава зелёная”.

В повседневной речи “или” употребляется в различном смысле:

во-первых, в неисключающем, когда оно выражает, что из двух высказываний, по крайней мере, одно истинно, а возможно, что и оба истинны, и, во-вторых, -в исключающем, в смысле “либо...либо”, когда оно выражает, что из двух высказываний истинно только одно, а другое ложно.

Например: В предложении: ”В жаркую погоду пьют воду или едят мороженое” союз “или” имеет неисключающий смысл, а в предложении “Сегодня мы пойдём на экскурсию или на пляж” “или” употребляется в исключающем смысле. В алгебре высказываний “или” употребляется в неисключающем смысле. Кроме того, в повседневной речи употребляют только дизъюнкции, члены которых как-то связаны между собой по содержанию, тогда как в логике рассматриваются дизъюнкции любых двух высказываний. Такие тонкости несоответствия алгебры логики предметной области, описываемой повседневной речью требует особого внимания при построении аксиом соответствующей теории.

Импликацией двух высказываний A и B называется новое высказывание, обозначаемое символом A ® B (читается: ”если A, то B“), которое считается ложным, если A истинно и B ложно, и истинным при всех других логических значениях высказываний A и B. Высказывание A называется условием или посылкой, высказывание B - заключением или следствием импликации. Импликация A ® B читается также следующим образом: “A влечёт B“, или “из A следует B“, или “A имплицирует B“. Для импликации таблица истинности имеет вид:

Таблица 8. Таблица истинности: импликация

A	B	A ® B

Например: Высказывание “Если 2*2=5, то трава синяя” и “если 1<1, то восемь делится на четыре” оба истинны, так как у первого из них посылка ложна, а у второго истинно следствие. Импликация “если 2=2, то 4>8” ложна, поскольку её условие истинно, а заключение ложно.

Под эквивалентностью высказываний A и B понимается новое высказывание, обозначаемое символом A «B (читается: ”A тогда и только тогда, когда B“ или короче: “A эквивалентно B“), которое считается истинным, когда оба высказывания A и B либо истинны, либо ложны, и ложным в остальных случаях. Высказывания A и B называются членами эквивалентности. Эквивалентность A «B читается также следующим образом: ”Для того чтобы A, необходимо и достаточно, чтобы B“, или “A, если и только если B“, или “Если A, то B, и обратно” или “A равносильно B“. Таблица истинности для эквивалентности имеет следующий вид:

Таблица 9.Таблица истинности:эквивалентность

A	B	A «B

Например: Высказывание “Трава синяя тогда и только тогда, когда солнце зелёное”- есть пример истинной эквивалентности, т. к. члены эквивален-тности ложны.

С помощью рассмотренных логических операций из заданной совокуп-ности простых высказываний можно строить различные составные выска-зывания. При этом порядок выполнения операций указывается скобками, как в арифметике. Например: Из трёх высказываний A, B, C можно построить высказывания: ù(A Ù B) Ú C, A ®[B «(A Ú C) ]. Логическое значение составного высказывания зависит только от логических значений образующих его простых высказываний. Оно может быть найдено на основании определений логических операций над высказываниями. Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из простых выска-зываний посредством применения логических операций: отрицания, конъ-юнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленция называется формулой алгебры логики высказываний.

Две формулы алгебры логики высказываний A и B называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений, входящих в формулы простых высказываний. Существуют три группы равносильных формул.

Дата добавления: 2015-06-27